La delta di Dirac

Partiamo dalla funzione vettoriale:

Il vettore è scritto in coordinate sferiche; questo è un campo radiale che decresce come ; da come abbiamo parlato della divergenza, un campo simile deve avere divergenza positiva. Tuttavia, se andiamo a calcolarla ne otteniamo un risultato non proprio aspettato (la divergenza è calcolata in coordinate sferiche):

Insomma, che fosse nulla non era così scontato. Il problema sorge quando applichiamo il teorema di Gauss; consideriamo una sfera centrata nell'origine di raggio , il flusso del vettore attraverso questa sarà:

Tuttavia, applicando il teorema di Gauss, l'integrale sul volume della divergenza è nullo in quanto è nulla la divergenza. Sbam, cervello spappolato sul muro.

In realtà, il teorema della divergenza è sempre valido. Il calcolo del valore della divergenza anche lo è. Ma, nel calcolare la divergenza, abbiamo supposto di non trovarci nell'origine, perché non ha senso dividere per lo . Questo vuol dire che proprio nell'origine accadono cose strane, e ciò che accade permette al flusso di assumere valore ; il campo vettoriale con il quale ci stiamo muovendo, allora, presenta divergenza nulla in tutto lo spazio, tranne che nell'origine, dove esplode a un valore tale che il flusso dia risultato . Ci troviamo a che fare con una funzione nota come delta di Dirac, che si presenta in molte teorie fisiche e, anche, nell'elettromagnetismo, in quanto i campi vettoriali che andremo a studiare, il campo elettrico in particolare, diverge proprio come in direzione radiale.

La delta di Dirac è definita come:

In realtà, non è propriamente una funzione, in quanto il valore che assume nell'origine non è finito; si parla quindi di distribuzione. La particolarità di questa funzione è che l'integrale su tutto lo spazio è unitario:

Caratteristica delle distribuzioni di probabilità, in cui rientra anche questa funzione. Inoltre, potremmo anche dire che, essendo la probabilità una misura, la delta di Dirac è anch'essa una misura, se vogliamo essere pignoli.

Andiamo adesso a studiare il comportamento della delta di Dirac. Presa una qualsiasi funzione arbitraria, per comodità che sia continua, il prodotto tra la funzione e la delta di Dirac è nullo ovunque eccetto che nell'origine; se ciò è vero, possiamo scrivere senza ambiguità:

Considerato questo, segue immediatamente, dalla definizione della delta:

Osserviamo che l'integrale non deve necessariamente coprire tutto lo spazio, anche se fosse limitato a un intervallo piccolo a piacere , l'integrale avrebbe avuto lo stesso risultato.

Così come è definita, la funzione può essere "shiftata" a un valore come:

E valgono le considerazioni già fatte nel punto origine, quindi , e l'integrale del prodotto risulta essere . Sebbene la delta di Dirac non è una funzione nel senso stretto del termine, gli integrali in cui compare sono vere e proprie funzioni che riportano valori finiti; vedere la delta di Dirac come qualcosa da utilizzare sotto il segno di integrale è un buon modo per capire al meglio come questa funziona.

Questo è il caso della delta in una sola dimensione; allo stesso modo possiamo parlare della delta di Dirac in tre dimensioni, ovvero:

Questa funzione ha valore nullo ovunque tranne che nell'origine dove esplode all'infinito. L'integrale su tutto lo spazio, come ci aspetta, è unitario:

Parlando allora di campi scalari , se consideriamo la delta di Dirac tridimensionale trasposta al punto sempre scrivibile come vale ancora ciò che abbiamo detto nel caso unidimensionale:

Possiamo adesso riprendere l'esempio iniziale; la divergenza di risulta, come abbiamo discusso, zero ovunque tranne che nell'origine, e l'integrale su ogni volume che contiene l'origine (abbiamo preso come caso particolare la sfera per comodità di calcolo, ma è generalizzabile a qualsiasi volume nello spazio) è costante pari a . Allora possiamo comodamente sfruttare la delta di Dirac e quindi esprimere in funzione di questa la divergenza di :

Generalizzata a qualsiasi punto nello spazio, possiamo scriverla come:

In seguito vedremo le applicazioni della delta di Dirac nel caso dell'elettromagnetismo.

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