Calcolo integrale

Gli operatori integrali principali sono di tre semplici tipi: integrali di linea, di superficie e di volume; ricordiamo che, a meno di integrali indefiniti, i quali hanno interesse prettamente matematico, il risultato di integrali da come risultato uno scalare. La risoluzione degli integrali non è facile: a differenza delle derivate, calcolare integrali a volte può essere addirittura impossibile analiticamente. Inoltre, solo l'esperienza e la pratica possono fornire trucchi e vantaggi nella loro soluzione, quindi un libro di testo, a parte fornire le più generiche regole e metodi conosciuti, non può fornire al lettore la stessa competenza che questo acquisirebbe dopo un duro lavoro di risoluzione di integrali.

Integrali di linea[modifica | modifica wikitesto]

Si parla di solito di integrali di linea lungo una curva; presa una curva e un campo vettoriale , l'integrale del campo lungo la curva tra due punti viene scritto come:

L'infinitesimo di integrazione viene moltiplicato scalarmente, per il campo; l'integrale di linea si riduce quindi a risolvere tre sotto integrali:

Gli integrali di linea sono largamente utilizzati in fisica, e il primo esempio che viene in mente a uno studente di fisica è, ovviamente, il lavoro compiuto da una forza definito proprio come l'integrale di linea della forza per lo spostamento, . Lo spostamento è orientato: cambiando verso di percorrenza, il risultato dell'integrale cambia segno. Nel caso la curva su cui si calcola l'integrale è una curva chiusa (ovvero gli estremi coincidono), si parla di circuitazione e si indica con un integrale lungo un percorso chiuso:

Il valore degli integrali di linea dipende dalla curva percorsa: cambiando percorso, cambia il risultato dell'integrale. Ci sono tuttavia un gruppo di campi vettoriali, detti conservativi, per i quali il risultato dell'integrale è indipendente dal percorso scelto ma dipende solo dai punti iniziali e finali; poiché è possibile esprimere i campi conservativi come il gradiente di un altro campo scalare detto potenziale, , per il teorema fondamentale del calcolo l'integrale applicato al gradiente questo corrisponde a calcolare la differenza del campo potenziale tra gli estremi di integrazione. Il teorema fondamentale del calcolo può essere sintetizzato come:

Per l'operatore gradiente si applica allo stesso modo:

Questi sono validi lungo qualsiasi curva che vada da a .

Integrali di superficie[modifica | modifica wikitesto]

Data una superficie , definito con il vettore infinitesimo di superficie, che corrisponde a un infinitesimo di superficie orientato, si parla di integrale di un campo vettoriale su una superficie come:

Ovviamente, ci sono due versori normali alla superficie; se questa è chiusa, si prende per convenzione storica il versore uscente; se inmathbfe è aperta, una delle due direzioni va bene comunque, ricordando però che cambiando verso del versore, cambia il segno dell'integrale. Legato all'integrale di superficie c'è il concetto di flusso attraverso una superficie, definito come:

Per poter calcolare integrali di superficie di particolari superfici, si parla spesso di parametrizzare una superficie attraverso una funzione del tipo: ; il versore normale, in questo caso, è fornito da:

A scanso di equivoci, in questo corso non ci spingeremo oltre le superfici cartesiane, che hanno una rappresentazione parametrica del tipo appena discusso, il quale non è la più generica forma di una superficie.

Integrali di volume[modifica | modifica wikitesto]

Dato un volume , presa una funzione scalare , l'integrale di volume di sul volume si scrive in forma:

L'infinitesimo di volume, in spazi euclidei, vale ; siamo in fisica classica, non ci sposteremo in spazi di Minkowsky con geometrie strane, per cui indicheremo con la terna euclidea appena indicata.

A volte si parla di integrali di volume di campi vettoriali; ricordando che un campo può essere scritto anche in forma vettoriale:

Allora l'integrale di volume di un campo diventa semplicemente:

Gli integrali di volume sono, spesso, più facili da risolvere cambiando set di coordinate, di cui discuteremo tra poco.

Integrazione per parti[modifica | modifica wikitesto]

La regola di integrazione per parti, nel caso di funzioni a una variabile, segue dalla derivazione del prodotto:

Da cui otteniamo:

Questa regola può essere portata nel caso di più variabili utilizzando la divergenza del prodotto:

Applicando il teorema di Gauss a questo fattore, otteniamo:

Da questa segue immediatamente la regola di integrazione per parti in più variabili:

Cambi di variabile[modifica | modifica wikitesto]

Passare in coordinate sferiche spesso può salvare la vita di molti neuroni, così come può causarne il decesso prematuro. È bene quindi, anche qui, impegnarsi e fare pratica con la soluzione degli esercizi, imparando a riconoscere quando è bene passare da un set a un altro, basandosi anche sulle simmetrie in gioco.

In generale, per effettuare un cambio di variabili occorre un'applicazione biunivoca che fa passare, ad esempio, dalla terna alle nuove . Quando si applica questo cambio, bisogna prestare attenzione al calcolo integrale: esiste infatti un teorema dell'analisi che guida alla soluzione.

Teorema

Sia applicazione biunivoca e , con aperto e . Presa una funzione scalare ; posto necessario che il determinante della trasformazione è non nullo:

Allora si effettua la seguente trasformazione sotto il segno di integrale:

 

Qui forniamo i più noti cambi di variabile con i loro jacobiani.

Set di variabili Variabili Jacobiano Cambio rispetto alle euclidee
Euclidee
Sferiche
Cilindriche
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