Sorgenti in movimento

Abbandoniamo per sempre le materie magnetiche e i concetti di magnetizzazione, con un piccolo rimpianto: non sapremo mai cosa succede se magnetizziamo il cervello di una persona (spoiler: non va a finire bene). Riprendiamo quindi a parlare delle grandezze fondamentali dell'elettromagnetismo, per come le abbiamo introdotte: i campi elettrico e magnetico e le rispettive sorgenti, che abbiamo visto separatamente come due serie di fenomeni completamente diversi e isolati tra loro. Abbiamo anche detto che non è proprio così e allora iniziamo ad approcciarci al regime dinamico, con grandezze variabili nel tempo, procedendo gradualmente.

Tutto quello che abbiamo detto nella prima parte del corso si può sintetizzare nell'espressione della forza che subisce una particella carica, che generalmente chiamiamo forza di Lorentz:

Ovviamente la forza è data da due contributi, come due sono i campi che abbiamo studiato finora separatamente. Tuttavia, se pensiamo già a delle cariche in movimento dobbiamo aspettarci che le cose, in alcuni casi, varino. Ad esempio, se cambiamo sistema di riferimento (passando da un sistema inerziale a un altro inerziale, perché non vogliamo mettere in mezzo cose strane con i sistemi non inerziali), sappiamo che le forze devono essere invarianti relativistiche (che sia relatività di Galileo o di Lorentz poco ce ne importa). Da questa informazione già ricaviamo che i due termini varieranno: ad esempio, se ci mettiamo in un sistema di riferimento solidale alla particella (che si muove quindi con velocità ), il termine magnetico scompare, e quindi il termine elettrico dovrà opportunamente modificarsi per far tornare le cose. Vediamo prima come variano le sorgenti dei campi in caso dinamico: da questo passeremo a studiare l'induzione elettromagnetica per poi infine studiare come variano i campi dipendenti dal tempo, andando a scrivere le quattro equazioni di Maxwell nel caso dinamico.

Come variano le sorgenti[modifica | modifica wikitesto]

Che e (le sorgenti dei campi) varino quando si passa da un sistema di riferimento a un altro è quasi scontato. Ciò che invece non varia è la carica elettrica, che risulta invariante relativistica. Nell'esempio seguente mostriamo un modo sperimentale molto semplice per verificarlo (se non si è interessati, si può saltarlo totalmente).

Esempio (8.1 invarianza della carica)

Per dimostrare che la carica non varia passando da un sistema di riferimento a un altro, si studiano due sistemi, uno non relativistico (cioè a basse velocità) e un altro in cui le velocità sono molto alte e quindi valgono le leggi della relatività ristretta. Se in entrambi i casi la carica elettrica risulta neutra, vuol dire che è invariante.

Per esempio, consideriamo gli atomi di idrogeno e elio ; verificare sperimentalmente che siano neutri è molto semplice (non reagiscono a campi esterni). Se sono neutri, allora la carica del protone bilancia perfettamente quella dell'elettrone. Nell'atomo di idrogeno, le quantità di moto delle due particelle sono uguali:

A queste corrispondono delle basse velocità, pari a . Sperimentalmente, l'atomo di idrogeno è neutro, quindi le due cariche sono uguali.

Nel caso dell'elio, invece, la quantità di moto dell'elettrone resta più o meno invariata , mentre quella del protone è molto più alta, sei ordine di grandezza più grande, . A questa corrisponde una velocità che è circa un decimo della velocità della luce, , una velocità molto alta e, quindi, soggetta alle leggi della relatività speciale. Poiché risulta sperimentalmente neutro l'atomo di elio, vuol dire che la carica elettrica non varia a basse o alte velocità: in sintesi, la carica elettrica è invariante relativistica.

 

Visto che la carica è invariante, la densità di carica può tranquillamente non esserlo; infatti, per come è definita (), poiché la lunghezza si contrae, questa varierà di conseguenza. Osserviamo anche che , visto che è la carica per densità di portatori di carica, in altri simboli esprimibile come e quindi , anche la densità di corrente varierà.

Come cambiano? Scegliamo un sistema di riferimento in cui è presente una densità che si muove con velocità generando una ; quando passiamo a un altro sistema di riferimento solidale con la densità di carica, cioè che si muove con velocità rispetto a , vedremo la densità di carica ferma e quindi non ci sarà alcuna .

Indichiamo col pedice le grandezze nel sistema di riferimento primato; per quanto abbiamo detto, sarà e , dove . Supponiamo che i due sistemi di riferimento siano in moto relativo solo rispetto all'asse , dobbiamo applicare una trasformazione di Lorentz lungo quest'asse. In vale : le componenti restano costanti nel passaggio tra i sistemi, mentre la componente varia passando da uno all'altro. Quindi, vale la trasformazione con la conseguenza seguente:

Quindi, nel sistema di riferimento la densità di carica è esprimibile in funzione della carica nell'altro sistema di riferimento:

Allo stesso modo, avremo una densità di corrente dipendente da :

Tutto questo è comodo vederlo in termini quadrivettoriali: possiamo infatti definire un quadrivettore che chiameremo quadridensità di corrente (stavolta ci assumiamo tutta la colpa del nome orribile) definito come:

Cosa ci dice che è quadrivettore? Se ci ricordiamo del quadrimpulso, definito come , osservando che i due quadrivettori sono identici a meno di uno scalare, poiché gli scalari e si trasformano allo stesso modo, i due vettori sono formalmente identici. Quindi, se il quadrimpulso è un quadrivettore (e lo è), lo sarà anche la nostra quadridensità di corrente. In questi termini, possiamo scrivere il passaggio da un sistema all'altro sotto termini di una trasformazione di Lorentz, con un boost nella direzione :

Con la trasformazione che abbiamo visto nella sezione precedente; avremo allora:

Il legame tra le costanti di accoppiamento[modifica | modifica wikitesto]

Applichiamo questo studio a un caso particolare, andando proprio a studiare cosa accade alla forza che subisce una particella carica in movimento quando passiamo da un sistema di riferimento a un altro. Come vedremo, imponendo che la forza sia covariante, otterremo un legame tra le costanti di accoppiamento e .

Fig. 8.1

Facciamo riferimento alla figura 8.1: abbiamo un filo indefinito di sezione (si consideri infinitesima) posto sull'asse , percorso da una corrente stazionaria concorde con l'asse. Il filo è globalmente neutro e lo consideriamo conduttore, quindi le sue cariche positive sono ferme e a muoversi sono gli elettroni, che si muovono verso il basso. Da queste poche informazioni sappiamo già che in ogni volumetto del filo la carica è neutra, potremo allora scrivere . Il filo produce nello spazio un campo magnetico dato dalla legge di Bios-Savart le cui linee di forza sono circonferenze, e il campo è tangente a esse:

Prendiamo allora una carica che si muove verso il basso con velocità . Questa subirà una forza di Lorentz che, per la regola della mano destra, risulta radiale al filo:

Possiamo esprimere la forza in funzione di tutte le variabili a noi note; ricordando che e il campo è quello di Bios-Savart, avremo:

Cambiamo allora sistema di riferimento e passiamo a un altro sistema inerziale solidale alla particella , che si muove quindi con velocità rispetto al precedente. In questo caso la particella risulterà ferma, mentre le cariche positive del filo saranno in moto e quelle negative avranno la loro velocità scalata (ricordiamo che la velocità non deve per forza essere uguale alla velocità di deriva degli elettroni). Nel vecchio sistema di riferimento avevamo una quadridensità del tipo:

Dove le due quadridensità indicano quelle dei portatori di carica:

A queste applichiamo la trasformazione di Lorentz, imponendo un boost lungo :

Ricordando e . Nel nuovo sistema di riferimento le quadridensità varieranno solo nelle componenti temporali e la prima spaziale (la componente , le componenti resteranno costanti):

Osserviamo (dall'ultima espressione) che la corrente elettrica negativa dovuta al moto degli elettroni è diminuita, ma non si è annullata (perché, come abbiamo detto, ). Inoltre, vediamo anche che ci sono delle densità di corrente nel filo, che genereranno un campo magnetico nello spazio, ma non ce ne può fregar di meno: nel nuovo sistema di riferimento la particella è ferma, quindi il contributo magnetico alla forza di Lorentz è nullo anche se il campo fosse fortissimo. Da queste relazioni ricaviamo la nuova densità di carica:

Poiché la velocità di deriva degli elettroni è circa , questo contributo è molto piccolo, tuttavia c'è. Questa densità genera nello spazio un campo elettrico, che calcoliamo applicando il teorema di Gauss prendendo come superficie gaussiana un cilindro coassiale col filo di raggio e altezza ; per simmetria cilindrica, il campo sarà radiale (ne abbiamo calcolati a decine di campi simili) e varrà:

Allora la forza che subisce la particella nel nuovo sistema di riferimento è:

In entrambi i casi, la forza è radiale, ovvero ortogonale al boost di Lorentz considerato. In relatività la differenza di quantità di moto ortogonale al boost vale:

Quando la trasformazione è ortogonale alla forza, come nel nostro caso, la differenza di quantità di moto ortogonale è nulla, ovvero ; ricordando che , avremo:

Allora, calcolando il rapporto tra la forza di Lorentz nel primo sistema di riferimento e quella nel secondo, dovremo ottenere :

Affinché le cose tornino, allora, deve per forza di cose essere:

Ovvero le due costanti di accoppiamento sono legate tra loro da una costante universale. Questo è vero e potremo dimostrarlo ancora una volta in seguito, studiando le leggi delle onde. Per ora, ci basta questo.

Tutto questo nostro procedere ci da due informazioni cruciali:

  1. Da quanto fatto, ci aspettiamo che la forza di Lorentz valga anche in condizioni relativistiche e che soddisfi quindi i principi della relatività speciale. In parole povere, abbiamo creato una teoria classica che funziona in relatività ristretta.
  2. I campi e devono essere in qualche modo legati tra loro: addirittura le due costanti di accoppiamo sono legate da una costante universale, quindi un qualche tipo di legame ci deve essere.

Vedremo nella prossima sezione che questo legame c'è ed è fortissimo: il campo magnetico è una delle sorgenti del campo elettrico.

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