Interazioni tra circuiti

Possiamo sfruttare lo studio dell'energia magnetica per studiare l'interazione tra diversi circuiti nello spazio, ovvero riuscire a trovare un'espressione generale per esprimere la forza magnetica che un circuito, in interazione con altri circuiti, percepisce. Inoltre possiamo dare una categorizzazione delle materie magnetiche migliore di quella finora data: abbiamo descritto cosa sono le categorie magnetiche e le abbiamo differenziate in base a come reagiscono quando sono immerse in un campo magnetico esterno, ma tutto questo era molto descrittivo. Usando l'energia magnetica possiamo descrivere anche quantitativamente queste differenze

Caso banale: un solenoide[modifica | modifica wikitesto]

Prendiamo un solenoide collegato a un generatore, che mantiene la corrente costante qualunque cosa accada; se avviciniamo un cilindretto al solenoide, questo reagirà diversamente se è diamagnetico, paramagnetico o ferromagnetico, come già sappiamo. Vediamo come possiamo relazionare la forza che il cilindretto subisce all'energia magnetica del sistema: tra prima e dopo che il cilindretto entri nel solenoide, infatti, l'energia magnetica varia. Posta l'energia del solenoide , poiché abbiamo supposto costante la corrente, questa sarà diversa prima e dopo l'inserimento del materiale, perché varierà . Infatti, avremo:

A queste corrispondono due diverse energie:

Se il cilindretto è un ferromagnete, come abbiamo detto, viene risucchiato con forza all'interno del solenoide; tuttavia, dopo questa trasformazione, poiché nei ferromagneti è molto grande, l'energia magnetica è aumentata e non diminuita, quindi il sistema si è portato a una configurazione energetica meno stabile, per quanto ne sappiamo finora. In realtà, l'energia in più viene fornita al sistema dal generatore, che mantiene costante la corrente: se così non fosse, infatti, questa dovrebbe cambiare quando il cilindro è inserito nel solenoide.

La forza con cui viene risucchiato (o respinto) il materiale è:

L'energia totale, nel nostro caso, sarà la somma tra l'energia erogata dal generatore e l'energia magnetica. Dimostreremo a breve che, come nel caso elettrostatico, l'energia fornita dal generatore è ; se è vero questo, avremo:

In questo caso banale, l'energia magnetica è:

Perché la corrente resta costante; l'energia del generatore possiamo esprimerla in funzione della forza elettromotrice ; la forza elettromotrice è data dalla legge di Faraday:

Andando a sostituirla, otteniamo proprio che l'energia del generatore è meno due volte l'energia magnetica:

Questo era il caso semplice e banale, vediamo di generalizzare il fenomeno.

Caso generale: n circuiti in interazione[modifica | modifica wikitesto]

Supponiamo allora di avere circuiti nello spazio, ognuno con la propria resistenza, induttanza e generatore che mantiene costante la correnti sul singolo circuito. Metteremo in relazione le potenze, ovvero applicheremo il teorema dell'energia-lavoro dividendo tutto per , in questo modo i calcoli saranno più semplici.

Per studiare la forza magnetica subita da un circuito, applichiamo il principio dei lavori virtuali, ovvero applichiamo al circuito k-esimo una forza esterna tale che, istante per istante, questa controbilanci la forza magnetica che sente il circuito: in questo modo avremo ; inoltre, secondo il principio dei lavori virtuali, la variazione di energia cinetica del circuito è nulla, . Quando spostiamo il k-esimo circuito, varia il coefficiente di mutua induzione che lega questo a tutti gli altri circuiti: di conseguenza, variano le correnti su tutti gli altri circuiti. Per supporre che la corrente sia costante, dovremo allora considerare il lavoro dei generatori speso per fare questo.

Scriviamo il bilancio energetico:

Dove è il lavoro compiuto dalla forze esterna, è il lavoro compiuto da tutti i generatori nello spazio e è il lavoro dissipato da tutte le resistenze nello spazio. Dividiamo questa uguaglianza per l'istante di tempo così da avere l'equilibrio tra le potenze:

Questi termini li conosciamo tutti, e possiamo esprimerli in termini a noi noti:

Quindi, possiamo riscrivere la nostra espressione come segue (attenzione a come spostiamo gli elementi a destra dell'uguale):

Ogni circuito avrà una sua equazione delle maglie; possiamo infatti approssimarlo a una sola maglia con la resistenza equivalente e l'induttanza equivalente di tutto il circuito, quindi sarà:

Andando a sostituire questo valore di nell'energia dei generatori, otterremo:

Osservando l'ultimo termine, questo è esattamente uguale a : anche nel caso generale, quindi, avremo che l'energia dei generatori è meno due volte l'energia magnetica. Infatti, se sostituiamo questo contributo nell'equilibrio delle potenze, il termine dissipativo scompare e resta solo:

A questo punto applichiamo il principio dei lavori virtuali, per il quale e otterremo:

Questa è un'uguaglianza vettoriale che lega la forza magnetica percepita dal k-esimo circuito con l'energia magnetica generale di tutto il nostro sistema. Esprimendo per lungo l'uguaglianza vettoriale:

Semplificando, possiamo riassumere tutto come con . Abbiamo trovato l'espressione generale per la forza magnetica percepita da un circuito in interazione con circuiti nello spazio, ed è:

Come abbiamo già detto nella precedente sezione, quando calcoliamo l'energia magnetica per un sistema di circuiti, è conveniente spesso calcolare solo il termine di interazione tra i diversi circuiti: infatti, se questi sono rigidi e il circuito k-esimo soggetto alla forza magnetica lo è anch'esso, non varieranno i termini di autoinduzione dei circuiti, ma varieranno solo i termini di mutua induzione. Quando allora andremo a calcolare il gradiente dell'energia magnetica, il termine di autoenergia scomparirà (in quanto costante) e resterà da calcolare solo il gradiente del termine di interazione. In pratica, vi stiamo dicendo che, per esercizi di questi casi, l'energia magnetica da calcolare è:

Allo stesso modo, questo discorso ci offre un modo particolare per esprimere l'energia di interazione di un solo circuito con tutti gli altri, nel seguente modo:

Dove è il campo generato da tutti gli altri circuiti nello spazio: questa formula va bene anche quando nello spazio c'è un campo esterno, generato in qualsiasi modo, e si vuole studiare come il nostro circuito interagisca con questo.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Vediamo qualche esempio di come sfruttare l'energia magnetica per l'interazione tra circuiti; partiremo da un esempio semplice, passando a un sistema classico e, per finire, una curiosità: perché gli estremi delle calamite a ferro di cavallo che comunemente troviamo nei supermercati si attirano?

Esempio (8.11)
Fig. 8.14.

Partiamo dal problema che ci eravamo posti a inizio sezione: la materia che reagisce col campo magnetico. Consideriamo il sistema in figura 8.14: un solenoide che mantiene la corrente costante e un cilindretto di materiale posto a un estremo, collegato a una molla ideale di costante che utilizziamo per misurare la forza con cui viene attratto o respinto. Questo esempio, che nella realtà è più che fattibile, è un modo comune per misurare la suscettività magnetica di un materiale, vediamo come.

Consideriamo il solenoide ideale, con , lunghezza , sezione e corrente . Fissiamo l'asse coassiale col solenoide e poniamo l'origine a inizio del solenoide: quanto il cilindretto sarà entrato di una certa lunghezza, chiameremo quella distanza da inizio solenoide. L'induttanza del solenoide è nota:

Dove può ovviamente cambiare a seconda che ci sia o meno il materiale nel solenoide. Ora, l'induttanza è una funzione di ; potrete crederci o meno, ma due induttanze in serie si sommano come le resistenze. Questo è facilmente verificabile osservando che sono percorse dalla stessa corrente, quindi la caduta di potenziale dei due induttori in serie sarà

Proprio perché nei due scorre la stessa corrente; quindi, nel nostro esempio, è come se avessimo due induttori in serie, uno lungo e riempito di materiale, l'altro lungo nel vuoto. Quindi, l'induttanza equivalente di tutto il sistema è funzione di quanto è entrato il cilindretto nel materiale:

Per riscriverla meglio, . Fatto questo, abbiamo risolto il problema: l'energia magnetica sarà funzione di , perché . Quindi la forza che sente il cilindretto sarà:

All'equilibrio, la forza della molla è uguale alla forza magnetica, quindi possiamo porre , e possiamo calcolare la costante del materiale:

 
Esempio (8.12)
Fig. 8.15: abbiamo deciso di non inserire i dati per non confondere l'immagine, l'importante è capire l'angolo tra la normale alla spiretta e l'asse.

Abbiamo il sistema in figura 8.15: due spire concentriche, con ; la spiretta interna ha la normale che forma un angolo con l'asse . Entrambe le spire sono percorse da correnti costanti che girano in un verso a caso tra i due, non ci interessa. Vogliamo calcolare il momento meccanico e la forza che subisce la spira più piccola al centro; la spiretta può ruotare solo attorno all'asse .

Possiamo sfruttare sia il teorema di equivalenza di Ampere che l'energia magnetica. Col primo metodo, calcoliamo i due momenti magnetici delle spire e quindi calcolare forza e momento usando questi; attenzione, in questo caso, a come si definisce l'angolo , perché potrebbe venir fuori un segno meno. Noi risolveremo usando l'energia magnetica. In questo modo, dobbiamo solo calcolare la parte interattiva dell'energia, ovvero

Calcoliamo il più semplice dei due: poiché , possiamo considerare il campo generato dalla spira grande costante su tutti i punti della spiretta; conosciamo l'espressione del campo generato da una spira, in questo caso dovremo calcolarlo nel suo centro:

Abbiamo detto di poter considerare questo costante sulla superficie della spiretta, quindi il flusso su di essa è semplice:

Otteniamo il coefficiente di mutua induzione, che osserviamo è funzione dell'angolo:

La forza che risente la spira è quindi nulla (ricordiamo ):

Avrà però un momento, che possiamo calcolare come:

Il momento meccanico tende a riportare le due spire con le normali parallele.

 
Esempio (8.13)
Fig. 8.16.

Abbiamo un circuito magnetico come in figura 8.16, di ferro dolce, lungo con un traferro . Al circuito è avvolto un solenoide, una volta che è percorso dal campo magnetico le due estremità del traferro si attraggono. Come mai?

Posta la direzione del traferro, troveremo una forza in questa direzione pari a:

Infatti, l'energia varierà. In questo caso conviene calcolarla come sul volume del circuito (dove i campi sono non nulli). I campi nel circuito sono noti, li abbiamo già risolti trenta volte e non lo rifaremo, sono:

La densità volumica di energia è quindi:

L'energia sarà:

Come in figura, osserviamo che possiamo porre : otterremo quindi un'energia magnetica dipendente da e, di conseguenza, una forza magnetica, pari a:

Osserviamo che, se inseriamo ordini di grandezza standard come:

Otteniamo una forza di centinaia di newton: se la forza è molto, molto intensa: è per questo che i circuiti magnetici vanno progettati adeguatamente, altrimenti si spezzano sotto l'effetto della forza magnetica come se fossero di burro.

 
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