Energia magnetica

Abbiamo visto come, in un circuito in cui è presente un coefficiente di autoinduzione, il generatore debba erogare più energia per portare la corrente da a , in quanto una parte di questa energia viene, in qualche modo, assorbita dall'induttanza. Non è sbagliato quindi aspettarsi che, in qualche modo, l'energia in più sia in qualche modo legata al campo magnetico che viene prodotto, quindi potremmo parlare di energia magnetica. In tutti i testi, e anche qui, ci si riferisce proprio a energia del campo magnetico, tuttavia le cose non sono proprio così.

È vero che l'energia è associata alla creazione del campo magnetico e alla sua stessa presenza nello spazio, tuttavia è bene ricordare che il campo magnetico non fa lavoro, e quindi a questo non possiamo associare un'energia potenziale, che chiameremmo energia "magnetostatica"; e infatti non lo abbiamo fatto, non abbiamo menzionato né provato a parlare di energia magnetostatica. Questo perché l'energia associata al campo magnetico appare solo ora, in regime dinamico, quasi-stazionario ma pur sempre dinamico (e varrà anche quando non saremo più in regime quasi-stazionario): quando le grandezze in gioco cambiano nel tempo, la variazione di campo magnetico altro non è che una sorgete di un campo elettrico, e il campo elettrico si che fa lavoro, lo abbiamo visto nella prima parte del corso. Quindi, in un certo senso, l'energia magnetica andrebbe in realtà chiamata "energia dinamica del campo elettrico", ma ha senso chiamarla energia magnetica.

Energia legata all'autoinduzione in un circuito[modifica | modifica wikitesto]

Partiamo dal circuito singolo e procediamo per considerazioni energetiche. L'equazione del circuito l'abbiamo già vista e vale:

Con ; trasformiamo questa uguaglianza tra cadute di potenziale in uguaglianza tra energie, moltiplicando tutti i membri per la carica erogata dal generatore nel tempo , vale a dire :

Osserviamo che è l'energia del generatore (lavoro) erogata per far circolare la carica nel circuito; allo stesso modo, è l'energia dissipata per effetto Joule sulla resistenza. E l'ultimo termine, ? Cosa sta a rappresentare? Se , questo termine ci da proprio la quantità di energia che il generatore deve erogare in più per raggiungere la corrente finale, quindi, per ora, possiamo indicarla con , ovvero come "l'energia associata all'induttanza". La nostra equazione diventa quindi:

Possiamo calcolare esplicitamente l'energia associata all'induttanza, integrando; supponendo che la corrente parta nulla e arrivi al valore , l'induttanza assorbirà un'energia pari a:

Se invece vogliamo passare a un'uguaglianza tra potenze, moltiplichiamo l'equazione del circuito per la corrente :

Ricordando l'equazione della corrente , le tre potenze saranno:

Fig. 8.10: in blu l'andamento della potenza erogata dal generatore, in verde quella dissipata per effetto Joule. La potenza accumulata dall'induttanza è data, istante per istante, dalla differenza tra i due.

In figura 8.10 l'andamento col variare del tempo della potenza erogata dal generatore e dissipata dalla resistenza; la potenza con cui si carica l'induttanza è, istante per istante, la differenza tra le due.

Come avevamo detto nell'introduzione, quindi, poiché stiamo creando un campo magnetico (dovuto al termine induttivo), questo richiederà dell'energia in più da parte del generatore; l'induttore si comporta, come abbiamo visto nella scorsa sezione, come un condensatore: l'energia con cui si carica può essere ceduta nuovamente: staccando il generatore, circola corrente nel circuito. Se infatti calcoliamo l'energia dissipata dalla corrente da quando stacchiamo il generatore a un tempo infinito, otterremo l'energia con cui si era caricata l'induttanza:

Quindi, vogliamo adesso poter associare il termine , che abbiamo indicato con , a qualcosa di magnetico, inerente in qualche modo col campo che si genera. Partiamo da un esempio pratico.

Esempio (8.7)

Prendiamo un circuito ohmico con induttanza trascurabile e lo colleghiamo a un solenoide: l'induttanza del solenoide domina su quella del circuito e quindi il termine induttivo dipende solo da questo; in altre parole, tutto il campo magnetico creato si troverà nel solenoide, e avrà l'espressione che conosciamo già, . Vediamo come possiamo esprimere il termine induttivo che compare nell'equazione del circuito. Questo sappiamo essere uguale al flusso autoindotto, ma poiché il campo magnetico è solo nel solenoide questo sarà il flusso concatenato col solenoide:

L'energia che abbiamo indicato con è anche esprimibile così, quindi ; a questo punto scriviamo , ottenendo

Osserviamo che il campo nel solenoide è , quindi possiamo sostituire nella precedente espressione; osservando anche che è il volume del solenoide, otteniamo:

Possiamo quindi definire una densità di energia volumica , che indica la densità di energia magnetica nel solenoide. Se il solenoide è nel vuoto, e all'interno c'è un paramagnete o diamagnete, possiamo sostituire , e quindi ottenere diversi modi per esprimerla:

La densità totale di energia nel solenoide è ottenibile semplicemente integrando:

Ovviamente, per ottenere l'energia magnetica basterà integrale sul volume del solenoide:

Nel caso del solenoide, otteniamo una formula già nota:

 

Cosa ricorda l'espressione del precedente esempio? Ricorda la curva di isteresi: integrando su tutta la curva , otteniamo l'area della curva, che rappresenta proprio l'energia magnetica utilizzata per riconfigurare i domini di Weiss in un ferromagnete: più è larga la curva, più energia sarà necessaria per fare questo.

Interazione tra circuiti[modifica | modifica wikitesto]

Abbiamo già trattato la mutua induzione, quindi non si sorprende nessuno se scriviamo le equazioni di due circuiti in interazione tra loro:

Vogliamo trattare globalmente le energie che entrano in gioco in tutti i circuiti, per fare questo moltiplichiamo ognuna di queste equazioni per la carica associata al circuito , con e poi le sommiamo. L'equazione che otteniamo mette in relazione tutte le energie nei circuiti:

Il termine a sinistra dell'uguaglianza rappresenta l'energia totale erogata da tutti i circuiti nello spazio; il primo membro a destra rappresenta l'energia totale dissipata per effetto Joule in tutti i circuiti e il secondo membro ci indica l'energia totale associata al campo magnetico, ovvero l'energia necessaria a creare tutti i campi magnetici nello spazio. Questa la indichiamo con ed è uguale a:

Un modo più elegante di scriverla è il seguente, in cui definiamo e :

A questo punto generalizzare a circuiti nello spazio è una banalità, e risulta quindi comodo scrivere:

Questa è l'energia di interazione tra tutti i circuiti nello spazio dovuta al campo magnetico. Possiamo fare di più, e scriverla in un'altra forma: sempre riprendendo il caso di due circuiti, occhio a come riordiniamo gli elementi:

Il primo termine tra parantesi rappresenta il flusso totale sul primo circuito: è la somma del flusso autoconcatenato più il flusso indotto dal secondo circuito; rispettivamente, si ha la stessa cosa per la seconda parentesi. Possiamo allora scrivere l'energia di interazione tra circuiti in un altro modo:

Insomma, ci sono diversi modi per esprimere l'energia di interazione tra circuiti e il prossimo passo è trovare l'espressione generale dell'energia associata al campo magnetico.

Energia del campo magnetico[modifica | modifica wikitesto]

L'espressione poco fa vista dell'energia di interazione è comodo, a volte, scriverla nel seguente modo:

In questa formulazione è facile riconoscere nel primo termine l'autoenergia del circuito i-esimo, mentre nel secondo termine è molto più chiara l'energia di interazione tra i diversi circuiti. Quando si chiede di ricavare l'energia di interazione, quindi, è spesso conveniente utilizzare questa formulazione, distinguendo così i termini di autoenergia da quelli che ci servono.

La formulazione generale è vagamente, per non dire palesemente, simile a quella già vista per l'energia elettrostatica, ovvero . Tuttavia, queste due espressioni, benché formalmente uguali, fisicamente sono diverse tra loro. In questa formulazione dell'energia elettrostatica, infatti, avevamo supposto che nella sommatoria rientrassero tutti i potenziali sulla carica (nella posizione della carica) k-esima escluso il potenziale generato dalla stessa k-esima carica: questo è stato necessario, perché il potenziale di una carica puntiforme nella sua posizione diverge a infinito. Nel caso magnetico, invece, nella sommatoria sono compresi tutti i flussi sul circuito k-esimo, anche il flusso autoconcatenato generato dallo stesso k-esimo circuito. Ovviamente questa è ancora una conseguenza della non esistenza delle cariche magnetiche puntiformi, dovuta alla prima equazione di Maxwell.

Poiché le formulazioni sono equivalenti, come nel caso elettrostatico siamo passati al continuo, possiamo anche qui portare la trattazione dell'energia dal caso discreto dei circuiti al caso continuo del campo magnetico; questo processo, teoricamente elegante e uguale a quello fatto in elettrostatica, può nella pratica non servire in quanto la formulazione discreta spesso basta per risolvere problemi e esercizi di energia di interazione tra circuiti.

Procediamo dunque considerando il circuito i-esimo, in cui scorre la corrente ; il circuito avrà sezione , possiamo scrivere:

In questo abbiamo considerato il campo come il campo magnetico totale nello spazio, ovvero la somma vettoriale di tutti i campi magnetici prodotti da tutti i circuiti. Questo possiamo scriverlo in termini del suo potenziale vettore , e applicare all'integrale di flusso il teorema di Stokes, per ottenere la seguente formulazione:

Ora, qui viene il trucco di magia che può distrarre. Per come sono definiti, i vettori hanno tutti la stessa direzione; l'angolo formato dai vettori e è uguale all'angolo generato da e . In virtù di tutti questi accorgimenti, allora, possiamo operare come segue:

A questo punto è facile osservare che è il volumetto infinitesimo di circuito, quindi questo diventa un integrale sul volume del circuito:

Ora, la corrente è diversa da zero solo nel circuito i-esimo, altrove sarà nulla. Se prendiamo quindi un volume che contiene tutti i circuiti nello spazio, e consideriamo la corrente come la somma di tutte le densità di correnti nello spazio, questa identificherà punto per punto quelle correnti che sono non nulla sui propri circuiti; in parole povere e sbagliate portiamo la sommatoria sotto il segno di integrale, ottenendo:

Anche qui abbiamo una palese somiglianza con l'espressione : in entrambe c'è un integrale di volume della sorgente del campo moltiplicata scalarmente (il prodotto scalare tra due scalari è il prodotto classico, ma dai) per il potenziale del campo. Allora procediamo allo stesso modo, ovvero operando in modo da ottenere un'espressione nei termini del campo stesso applicando le leggi di Maxwell. Poiché vale , andiamo a sostituirlo nell'espressione:

Ora, procediamo esattamente come nel caso dell'energia elettrica, con un piccolo appunto: questo procedimento che andiamo a fare varrà sempre, anche quando non sarà più vero che ; come vedremo nel prossimo capitolo, la quarta equazione di Maxwell varia in caso dinamico, e presenta un termine in più, chiamato corrente di spostamento , quindi sarà . Anche in questo caso, generalizzando il concetto di corrente in una corrente generale che comprenda anche la corrente di spostamento, sarà valido questo procedimento.

A questo punto, osservando che:

Andando a sostituire nell'espressione dell'energia magnetica:

Applicando il teorema della divergenza al primo termine:

Osservando come fatto nel caso elettrostatico che, se ci allarghiamo a tutta la regione di spazio in cui i campi sono diversi da zero, l'integrale di flusso diventa nullo e possiamo quindi esprimere l'energia magnetica come:

Ovviamente, come nel caso elettrico, può essere espresso in termini di densità volumica di energia, definita come:

Nel caso i due campi sono legati da una dipendenza lineare, ovvero ci troviamo in uno spazio in cui sono presenti solo paramagneti e diamagneti in cui , la densità di energia volumica ha diverse espressioni tutte equivalenti:

Esempio (8.8)
Fig. 8.11.

Iniziamo dalle cose semplici, ad esempio il circuito in figura 8.11, è il prototipo che abbiamo utilizzato per applicare la legge di Faraday-Neumann. Ora alla sbarretta mobile applichiamo una forza esterna che mantiene costante la velocità, e il campo è ancora uniforme. Chiediamo:

  1. il valore della forza esterna;
  2. confrontiamo dissipata sulla resistenza per effetto Joule e erogata dalla forza esterna;
  3. cosa accade quanto togliamo la forza esterna? Calcolare l'energia dissipata fino a un tempo infinito.

Partiamo dall'inizio, l'area del circuito varia ma non il campo esterno, ci sarà quindi una forza elettromotrice indotta

Poiché non c'è generatore, l'equazione del circuito è banalmente , quindi abbiamo già la corrente che circola nel circuito (il segno meno sta a indicare che gira nel verso opposto rispetto a come l'abbiamo indicato in figura). Poiché circola corrente, la sbarra sente una forza magnetica data dalla seconda equazione di Laplace:

L'equazione del moto della sbarretta impone che abbia velocità costante, quindi accelerazione nulla; forza esterna e forza magnetica sono allora in equilibrio e abbiamo quindi trovato la forza esterna:

Poiché le uniche forze in gioco sono forza esterna e forza magnetica, tutta la potenza erogata dalla forza esterna andrà a dissiparsi sulla resistenza; è più facile calcolare la potenza erogata dalla forza esterna (in realtà sono ugualmente banali) e vale:

Quando leviamo la forza esterna, l'equazione del moto della sbarra diventa :

La sbarra si muove di moto smorzato, con velocità ; quindi la corrente che circola nel circuito sarà variabile nel tempo, : da questa ricaviamo la corrente dissipata come e la integriamo per ottenere l'energia dissipata:

Potevamo anche calcolarla semplicemente sfruttando la conservazione dell'energia meccanica.

 
Esempio (8.9)
Fig. 8.12.

Stavolta mettiamo il circuito in verticale (figura 8.12) e sulla sbarretta, supponendo abbia massa , agisce la forza peso . Il circuito è collegato con un'impedenza generica che può essere:

  1. una resistenza;
  2. un'induttanza;
  3. una capacità.

In tutti e tre i casi troviamo l'equazione del moto della sbarretta e la funzione della corrente variabile nel tempo. In tutti i casi l'equazione del moto della sbarra sarà:

Poiché conosciamo già la forza magnetica e la forza peso, possiamo già ottenere l'espressione generica:

Inoltre, i tutti i casi avremo che la forza elettromotrice indotta, dataci dalla legge di Faraday-Neumann, sarà

Partiamo dal caso semplice, quando è una resistenza. In questo caso l'equazione del circuito è , da cui ricaviamo la corrente ; sostituendola nell'equazione del moto, otteniamo:

Ovvero un'espressione formalmente simile al moto di un paracadutista che incontra l'attrito dell'aria. La velocità asintotica della sbarra sarà positiva verso il basso e varrà . Risolvendo l'equazione differenziale otteniamo le due soluzioni:

Quando c'è un'induttanza le cose cambiano non poco. L'induttore si caricherà di energia che poi cederà nuovamente al circuito. L'equazione del circuito è ora:

Poiché , otteniamo . Conviene in questo caso derivare l'equazione del moto della sbarretta:

Questa ha una forma familiare, chiamato , otteniamo l'equazione di un oscillatore armonico , con pulsazione . La soluzione è nota a ogni studente di fisica e vale:

Con le condizioni al contorno e otteniamo la soluzione particolare al nostro problema:

Della corrente sappiamo la derivata, ; integrando otteniamo la soluzione cercata:

Quindi la sbarretta oscillerà intorno la posizione iniziale per un tempo indefinito, come un oscillatore armonico perfetto.

Quando inseriamo una capacità, invece, la sbarretta tornerà a viaggiare in giù. L'equazione del circuito diviene:

La deriviamo:

Quindi la sbarra si muove di moto uniformemente accelerato, con accelerazione pari a:

La corrente è facilmente ottenibile con .

 
Esempio (8.10)
Fig. 8.13: a fianco, la vista dall'alto della guida circolare.

Abbiamo il circuito in figura 8.13: un asse rotante a cui è attaccata un'asta rigida, che striscia senza attrito su una guida circolare; l'asse è collegato alla guida tramite un ponte. Tutto è conduttore: l'asta rigida, la guida circolare, l'asse rotante e il ponte. La resistenza del circuito è schematizzata come . L'asse ruota con velocità angolare grazie a un motorino; tutto è immerso in un campo magnetico uniforme . Calcolare la corrente che circola nel circuito e l'energia fornita dal motorino per mantenere in rotazione l'asse.

In questo caso non possiamo sfruttare la legge di Faraday-Neumann, in quanto non varia il flusso concatenato col circuito del campo magnetico. Sfruttiamo allora la forza di Lorentz: la sbarra, o meglio, ogni punto della sbarra ruota con velocità con ; la forza di Lorenz è quindi diretta radialmente (figura 8.13) e vale:

La forza elettromotrice indotta è quindi uguale alla circuitazione della forza di Lorentz per unità di carica, come abbiamo già visto. La circuitazione va calcolata lungo l'asta in quanto è l'unico tratto di circuito su cui agisce la forza di Lorentz:

La corrente si calcola banalmente in quanto l'equazione del circuito è :

La potenza erogata dal motorino è uguale a quella dissipata sulla resistenza, in quanto non ci sono altre grandezze in gioco. Quindi sarà

Per l'energia erogata basta integrare da un tempo iniziale a un tempo finale:

 
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