Applicazione della legge di Faraday

Vediamo un paio di esempi di come si applica la legge di Faraday nei problemi.

Fig. 8.5.
Esempio (8.2)

Consideriamo un anello di raggio isolante carico positivamente, con , di massa . Viene immerso in un campo magnetico coassiale con l'anello (figura 8.5). Si osserva che l'anello comincia a ruotare: calcoliamo la sua energia cinetica.

L'anello, in questo caso, risente di un campo elettrico a divergenza nullo, dato dalle equazioni:

Attenzione: questo non è il campo elettrico in tutto lo spazio, che sarà la somma di questo più il campo generato dall'anello, ma è solo il campo sentito dall'anello, ovvero quello che lo mette in rotazione, infatti è un campo solenoidale. Applicando la forma integrale delle equazioni di Maxwell:

Avremo quindi:

Osserviamo che potevamo risolvere questo punto anche in un altro modo, semplicemente sfruttando un problema analogo, ovvero il campo di Bios-Savart: questo è generato da un filo indefinito percorso da corrente, e ha linee di forza che sono circonferenze centrate nel filo. Il campo che si genera nella circonferenza di raggio è:

Questo risultato deriva dalle equazioni:

Osserviamo che, cambiando in e in , otteniamo le equazioni che abbiamo sfruttato per risolvere il problema, infatti:

Continuiamo col problema, ora che conosciamo il campo possiamo calcolare la forza che agisce sull'elemento dell'anello come:

Il momento della forza risentito dall'anello è quindi:

Imponendo che questo sia uguale a , dove è il momento di inerzia dell'anello, possiamo trovare la derivata della velocità angolare di rotazione:

Avremo quindi l'espressione della velocità angolare:

Dove abbiamo supposto che inizi a ruotare con velocità angolare nulla. Adesso calcolare l'energia cinetica è banale:

 

Non sempre, negli esercizi, è possibile applicare la legge di Faraday-Neumann: infatti, può capitare che il flusso resti costante, e dobbiamo allora applicare la forza di Lorentz. Vediamo un esempio classico.

Esempio (8.3 disco di Barrow)
Fig. 8.6: il disco di Barrow.

In figura 8.6 è rappresentato il disco di Barrow: è un disco con asse, tutto rigido e di materiale conduttore, e l'estremità del disco è collegata a un punto dell'asse tramite due spazzole, che non hanno attrito nel loro moto. Il disco viene immerso in un campo magnetico costante e perpendicolare al disco stesso, e questo ruota con velocità angolare . Osserviamo, attraverso il voltmetro collegato alle due spazzole, che si forma una forza elettromotrice.

Tuttavia, qui non possiamo applicare la legge di Faraday, infatti vale:

In quanto il campo è costante, l'area del disco pure e questo ruota solo assialmente. L'effetto sarà allora dovuto tutto alla forza di Lorentz. Gli elettroni sul disco ruotano con velocità , quindi la forza sarà:

La forza elettromotrice si calcola direttamente:

La corrente che circola, posta la resistenza equivalente del circuito, sarà:

 

Il betatrone[modifica | modifica wikitesto]

SI può sfrutare l'induzione elettromagnetica per creare degli acceleratori di particelle. Consideriamo infatti l'esempio 8.2 dell'anello: in questo, il campo genera un campo elettrico solenoidale.

Prendiamo allora un campo magnetico che sia sì dipendente dal tempo, ma anche dalla distanza dall'asse, ovvero vari sia col tempo che col raggio, . La dipendenza radiale deve essere presa opportunamente: infatti, variando nel tempo, ad esempio varia proprio come nell'esempio 8.2 linearmente , conferisce alle particelle un'energia cinetica crescente col tempo; a questa corrisponde anche una quantità di moto crescente nel tempo, e a sua volta questa ci dice che il raggio della particella aumenta nel tempo. A noi questo non piace moltissimo, perché vogliamo che i nostri elettroni restino in orbita: il betatrone si chiama così proprio perché serviva per accelerare gli elettroni, a un tempo comunemente chiamati onde beta.

Se sfruttiamo la dipendenza radiale, invece, possiamo fare in modo che la particella resti in orbita. Come? Applicando l'espressione della forza elettromotrice, come nel caso dell'anello:

Osserviamo che in questo caso abbiamo dovuto inserire il campo medio sul cerchio di raggio : poiché infatti il campo varia radialmente, non possiamo portarlo fuori dall'integrale di flusso a cuor leggero come portiamo il pane a casa dopo la spesa: dobbiamo considerare il campo medio, per non far morire di infarto un matematico nel mondo. Riordinando le cose, avremo:

La forza agente sulla particella:

Non abbiamo mangiato il senso meno: abbiamo già considerato di avere a che fare con elettroni, se è stato progettato per accelerare elettroni per quale barbaro motivo dovremmo usarlo per accelerare protoni? (NB: "Per il bene della scienza" non è una risposta adeguata). Da questa espressione notiamo che la quantità di moto cresce col campo medio, imponendo l'uguaglianza tra la forza di Lorentz e la forza centripeta dell'elettrone:

Quindi anche il raggio cresce di conseguenza. Da questa, però, possiamo ricavare una condizione particolare: vale , ma osservando l'espressione che avevamo ricavato per , otteniamo:

Questa viene chiamata condizione di betatrone: imponendo che il campo medio sulla superficie sia due volte il campo sul bordo, l'elettrone resta in orbita e non sfarfalla via.

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