Potenziali di Liénard-Wiechert

Cambiamo qualche notazione per evitare di uscire scemi strada facendo; avrete certamente notato che portarsi avanti un fattore ogni volta nei potenziali ritardati è non poco scomodo, per questo poniamo il tempo ritardato:

Così da avere e , che sono più comode e anche carine da vedersi; l'importante è ricordarsi che dipende da , il resto è solo comodità.

Vogliamo calcolare i potenziali ritardati di una particella carica che si muove nello spazio, non ci interessa come. Chiamiamo la funzione posizione della particella in funzione del tempo. Il tempo ritardato è univocamente determinato dall'equazione:

(Dovrebbe essere chiaro per chiunque che ); il membro di sinistra è la distanza che l'informazione della posizione della particella compie, e il tempo che impiega a percorrerla. Chiamiamo la posizione ritardata della particella e:

Il vettore che congiunge il punto in cui calcoliamo i punti alla posizione ritardata della particella.

Il tempo , come abbiamo detto, è univocamente determinato: se infatti ci fossero due tempi che sono in relazione con per uno stesso punto della traiettoria, avremmo:

Da cui otteniamo che , cioè la particella dovrebbe avere una velocità media pari a . La velocità di fase di un'onda può superare ma una particella, con una sua massa, no: non prendiamoci troppe libertà, Einstein si arrabbia poi. In sintesi, c'è solo un tempo che, per ogni punto della traiettoria percorsa dalla particella, ci fornisce la posizione ritardata.

La formula del potenziale scalare:

Potrebbe suggerire che il potenziale di una carica sia:

Il problema è che si, questo è il potenziale di una carica, ma ferma. Se essa si muove, infatti, l'integrale , perché la carica si muove: il tempo ci obbliga a calcolarla in diversi istanti di tempo, quindi ne risulterà una figura distorta della carica. Ovviamente, se la carica è puntiforme non si può distorcere, tuttavia la carica puntiforme è solo il limite del volume che tende a zero, quindi si distorce anch'essa. La distorsione è data dall'effetto Doppler (applicato alla luce), per cui risulta che la carica sia distorta del fattore:

Dove è la velocità della particella al tempo Segue che il potenziale di una carica in moto è:

Per il potenziale vettore, basta ricordare che possiamo sempre scrivere , quindi:

(Il fatto che, fuori dall'integrale, diventi non è magia, avviene anche nel potenziale scalare: l'operazione di integrale fa proprio in modo che diventi ). Per quanto abbiamo quindi detto sul potenziale scalare, possiamo tranquillamente scrivere:

Dove nell'ultima uguaglianza abbiamo sfruttato . Questi sono noti come potenziali di Liénard-Wiechert (i due ci sono arrivati in modi diversi quasi contemporaneamente).

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