Le equazioni di Jefimenko

Le equazioni di Jefimenko, a volte note come campi di Jefimenko, sono delle espressioni dei campi elettrici e magnetici ricavati direttamente dai potenziali ritardati, applicando la definizione. Stranamente sono stati pubblicati molto recentemente, nel 1966, cento anni dopo la pubblicazione del trattato di Maxwell. Questo è anche dovuto al fatto che non siano di grande utilità questi campi: è spesso più semplice ricavarsi i potenziali e poi derivarli piuttosto che applicare direttamente questi.

Dati i potenziali ritardati nel vuoto:

Ricaviamo i campi come:

Partiamo dal calcolare il gradiente del potenziale scalare. Questo sarà:

Procediamo passo passo. Calcoliamo:

D'altro canto, , e . Quindi:

Banalmente, la derivata temporale del potenziale vettore:

Quindi il campo elettrico:

Per il campo magnetico dovremo calcolare il rotore del potenziale vettore:

Dove abbiamo usato:

Il rotore della densità di corrente è:

Questo è brutto. Però possiamo migliorarla un po', ad esempio:

La componente del rotore può essere scritta come:

In conclusione (se non vi fidate, rifate i calcoli) . Il primo termine è fatto, che faticaccia.

Il secondo termine è per fortuna noto, . Quindi, otteniamo anche il campo magnetico di Jefimenko:

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