Campo elettrico e campo magnetico di una carica in moto

Grazie ai potenziali di Liénard-Wiechert, possiamo calcolare i campi di una carica in moto. È matematica, matematica e un po' di disperazione. Dati i potenziali già ricavati:

Possiamo calcolare i campi secondo le espressioni:

Cominciamo dal gradiente di . Ricordiamo che , quindi:

Poiché , vale , quindi il primo gradiente è presto dato; per il secondo termine usiamo la regola del prodotto:

Passo passo:

Con è l'accelerazione della particella al tempo ritardato. L'altro termine:

Lo dividiamo in due e avremo:

Mentre l'altro termine si risolve come , quindi avremo:

Okay, i prodotti scalari sono alle spalle. Passiamo ai prodotti vettoriali: sono solo calcoli, quindi forniamo il risultato:

Quindi, rimettendo in ordine le cose:

Per il triplo prodotto usiamo la formula , avremo:

Otteniamo quindi . Rimettiamo a posto tutto ottenendo:

Non resta che calcolare ; come abbiamo detto all'inizio, , quindi conviene calcolare questo:

Per calcolare ragioniamo come abbiamo fatto per , e quindi concludiamo:

Abbiamo invece già calcolato

Riordinando di nuovo tutto:

Alleluja!

Abbiamo finalmente, davero stavolta, il gradiente del potenziale scalare:

Passiamo a calcolare la derivata temporale del potenziale vettore, questo sarà il risultato:

Definiamo , otteniamo il campo elettrico generato da una carica puntiforme in moto nello spazio:

Osserviamo che, se velocità e accelerazione sono nulle, ricadiamo nel caso statico che abbiamo già visto svariate volte. Il primo termine, dipendente da viene di solito chiamato campo elettrico di Coulomb generalizzato, o, a volte, campo velocità elettrico. Il secondo termine è dominante a grandi distanze ed è il responsabile della radiazione elettromagnetica, per questo viene spesso indicato come campo accelerazione elettrico o campo di radiazione.

Per il campo magnetico, dobbiamo calcolare il rotore del potenziale vettore. Avremo:

Abbiamo già calcolato tutto, basta solo buttarli nel minestrone e tirarne fuori il risultato:

Il termine tra le parentesi quadre assomiglia vagamente al termine tra parentesi quadre del campo elettrico. Quest'ultimo, usando la regola del triplo prodotto vettoriale, può essere scritto come . I due termini sono identici a meno di scambiare con nei primi due termini. Per la definizione di , e visto che dopo moltiplichiamo tutto vettorialmente per (quindi ce ne sbatte altamente del termine nella definizione di ), sostituiamo e otteniamo:

Il campo magnetico risulta essere sempre ortogonale sia al campo elettrico che al vettore congiungente con la posizione ritardata.

Da questi campi, possiamo scrivere l'espressione generale della forza di Lorentz percepita da una particella e generata da una qualsiasi distribuzione di cariche in una qualsiasi configurazione dinamica (sfruttando il principio di sovrapposizione, questo è quella generata da una carica in moto):

Con la velocità della carica . In questa espressione c'è tutta l'elettrodinamica, è il caso più generale che potessimo considerare. Si può partire tranquillamente da questa espressione e poi studiare tutti i casi particolari possibili: è un modo diverso di vedere l'elettrodinamica, è carino e interessante. Storicamente viene presentata come lo abbiamo fatto in questo corso, partendo prima dai casi particolari e poi andando via via generalizzando lo studio dei fenomeni, ma se fossimo partiti da questa espressione, per poi applicarvi tutte le limitazioni dei casi, non avremmo presentato nulla di diverso da quanto è stato fatto. L'unico presupposto necessario a una trattazione inversa dell'elettrodinamica è che si abbia già piena padronanza degli strumenti matematici necessari, tuttavia questa viene spesso acquisita proprio durante il corso e quindi non è una richiesta banale. Alla luce di questo, però, può essere interessante per uno studente, magari in vista anche di una prova d'esame, studiare al contrario l'elettrodinamica, mettendo i pezzi al posto giusto nell'ordine inverso, dimostrando così di avere completa padronanza della teoria. C'è un motivo per cui non si parte da questa espressione per poi ricavarsi il tutto, ed è chiaro insomma.

Extra: velocità costante[modifica | modifica wikitesto]

Non faremo il calcolo, basta. Però discutiamo la soluzione di una particella che si muove nello spazio con velocità costante; la soluzione si ricava sostituendo nelle espressioni dei campi . Posto il vettore congiungente la posizione attuale della particella col punto in cui vogliamo calcolare i campi, posto l'angolo tra e , il campo elettrico è:

Fig. 10.2: il campo elettrico è radiale con la posizione attuale della particella, sebbene l'informazione provenga da una posizione ritardata.

Osserviamo che il campo elettrico è radiale rispetto alla posizione presente della carica, anche se l'informazione viene dalla posizione ritardata. Questo è un caso particolare, molto. Il fattore al denominatore fa sì che le linee siano schiacciate in direzione perpendicolare alla velocità (figura 10.2) della particella.

Il campo magnetico è invece:

Le cui linee di forza sono circonferenze attorno la velocità della particella (figura 10.3). Il primo ad ottenere le espressioni di questi campi fu Heaviside nel 1888 (lo stesso anno in cui Hertz verificò l'esistenza delle onde elettromagnetiche).

Fig. 10.3: il campo magnetico di una particella a velocità costante ha linee di forza circolari centrate nella direzione della velocità.
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