Più dielettrici nello spazio e condizioni di raccordo

Condizioni di raccordo[modifica | modifica wikitesto]

Ci chiediamo adesso cosa accade quando sono presenti più dielettrici nello spazio. Poiché non avremo un dielettrico che occupa tutto lo spazio utile, non potremo considerare , ma avremo a che fare con le due equazioni:

Queste equazioni, in aggiunta a varie condizioni simmetriche, ci permetteranno di risolvere i nostri problemi nello spazio. Tuttavia, non valgono lungo le superfici di separazione tra i dielettrici. In quel caso, siamo un po' limitati. Sappiamo però, come sempre, come muoverci: dobbiamo trovare un potenziale che risolvi l'equazione di Poisson, solo che questa funzione dovrà rispettare le condizioni di raccordo, ovvero le condizioni che descrivono come variano le componenti tangenti e normali dei campi e alla superficie di separazione tra i dielettrici.

Fig. 4.5

Per poter ricavare queste condizioni di raccordo, sfruttiamo le forme integrali delle equazioni di Maxwell. Consideriamo due dielettrici e la superficie di separazione tra essi; avremo e il campo in un dielettrico e col campo nell'altro dielettrico. Saranno inoltre presenti le cariche di polarizzazione; per semplicità, consideriamo che non ci sono cariche libere nei dielettrici.

Per calcolare il campo spostamento, sfruttiamo il teorema di Gauss: avremo, per una qualsiasi superficie, . La stessa cosa non si può dire del campo elettrico: infatti, poiché saranno presenti le cariche di polarizzazione, avremo . Allora, prendiamo come superficie una scatola di altezza che sia posta sulla superficie di separazione tra i dielettrici; i vettori uscenti alla scatola saranno da un lato e dall'altra, e saranno entrambi paralleli al versore normale alla superficie di separazione , uno di verso concorde e uno di verso discorde (figura 4.5). Il flusso, allora, sarà:

Da cui ricaviamo che le componenti normali dei campi spostamenti non variano passando da un dielettrico a un altro . Siccome , possiamo ricavare le componenti normali dei due campi elettrici, che stavolta varieranno, e avremo .

Per lo componenti tangenti alla superficie sfruttiamo la terza equazione di Maxwell, , utilizzando lo stesso procedimento sfruttato nel teorema di Coulomb (vedere figura 3.8 per riferimenti: è identica a questo caso); avremo che la circuitazione del campo elettrico sulla curva sarà nullo, quindi:

Quindi otteniamo che , ovvero le componenti tangenti del campo elettrico restano costanti nel passaggio da un dielettrico a un altro. Ricordando sempre la relazione tra campo elettrico e spostamento, avremo che , quindi in questo caso a variare saranno le componenti tangenti dello spostamento. Per riassumere in breve:

In particolare, l'espressione per le componenti normali del campo elettrico assomiglia vagamente alla legge di diffrazione per onde. In effetti, esplicitando e , otteniamo:

Questa è la legge di diffrazione per le linee di forza del campo elettrico; in particolare, facendo variare le costanti dielettriche, si possono convogliare fasci di linee di forza in spazi piccolissimi: alla base del principio delle fibre ottiche c'è proprio la teoria dei materiali e della propagazione nei mezzi.

Condensatori con più dielettrici[modifica | modifica wikitesto]

Fig. 4.6

Vediamo ora cosa succede quando abbiamo condensatori con più dielettrici al loro interno. Consideriamo prima il sistema in figura 4.6: un condensatore piano, carico e isolato, con due dielettrici con superficie di separazione uguale e parallela alle armature. Calcoliamone la capacità , le cariche di polarizzazione e i vettori .

Per calcolare la differenza di potenziale , ci calcoliamo prima il campo elettrico e poi lo integriamo sulla perpendicolare alle armature. Come ci aspettiamo che sia il campo elettrico? Dalle condizioni di raccordo sappiamo che , ma in un condensatore nel vuoto il campo elettrico è ortogonale alle armature; se consideriamo che, tra le armature e i dielettrici, c'è un piccolissimo tratto di vuoto (ricordiamo che il vuoto è un dielettrico di costante ), il campo passerà dal vuoto al dielettrico mantenendo costante la sua componente tangente. Peccato che la componente tangente è nulla, quindi avremo che il campo elettrico sarà ortogonale alle superfici. Di conseguenza, essendo i campi e paralleli al campo elettrico, anche questi saranno ortogonali alle armature. Per calcolare il campo spostamento, ricordiamo che le sue componenti normali sono continue , ma in questo caso le componenti normali corrispondo al campo stesso, quindi avremo . Da questo ricaviamo subito il campo elettrico:

Quindi otteniamo direttamente il potenziale:

La capacità la otteniamo direttamente calcolando . Osserviamo che la capacità del condensatore è la stessa di una serie di condensatori, con capacità e . Calcolando la resistenza in serie come , potrete verificare che i conti tornando.

Passiamo ora a calcolare le cose che restano: la polarizzazione è gratis. Le cariche di polarizzazione, quindi, le ricaviamo perché la polarizzazione è costante in tutti i dielettrici (e non ci sono cariche libere all'interno di questi), mentre la densità superficiale , posizionata come in figura 4.6. Possiamo anche calcolare la carica totale situata nella zona di confine tra i dielettrici:

Fig. 4.7

Cambiamo totalmente sistema e passiamo ora a considerare un condensatore piano, carico e isolato, con i dielettrici situati in modo tale che la loro superficie di separazione sia normale alle armature (figura 4.7). Se, nel caso precedente, la capacità del sistema era equivalente a quella di una serie di condensatori, in questo caso sarà equivalente a due condensatori in parallelo. Per comodità, consideriamo che i dielettrici dividono esattamente a metà il volume tra le armature.

Anche in questo sistema il campo elettrico sarà normale alle armature (per lo stesso ragionamento precedente); poiché è quindi parallelo alla superficie di separazione, per la condizione di raccordo concludiamo che il campo elettrico è lo stesso nei due dielettrici e, quindi, il potenziale sarà lo stesso. Posto , avremo che le due capacità saranno con e con . I campi elettrici dipenderanno sia dalle cariche di polarizzazione che da quelle libere:

Per le cariche di polarizzazione sfruttiamo ; andando a sostituire:

La carica totale su un'armatura sarà , ovvero:

La capacità totale del sistema è quindi:

Ovvero è la somma delle due singole capacità: il sistema è equivalente a due condensatori in parallelo.

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