L'energia di polarizzazione e di campo elettrico nella materia

Nella sezione 3.6 abbiamo trattato l'energia di campo elettrico, a partire dalla definizione , arrivando a trattare la densità di energia . Ora che abbiamo introdotto i dielettrici, è ovvio aspettarsi che l'energia del campo elettrico vari, in quanto sono presenti, nello spazio, le cariche di polarizzazione.

Per poter esprimere la "nuova" densità di energia procediamo allo stesso modo: dalle equazioni di Maxwell nella materia possiamo esprimere , e quindi sostituire nell'espressione . Per la formula di integrazione per parti in più variabili, abbiamo:

Quindi otteniamo che l'energia elettrostatica nella materia è esprimibile come:

Come abbiamo detto già nel caso del vuoto, se ci allarghiamo a considerare tutto lo spazio utile in cui i campi elettrico e spostamento non sono nulli, l'integrale di superficie svanisce, e otteniamo:

Quindi, nella materia, l'energia è cambiata; di conseguenza anche la densità di energia va ridefinita come ; ricordando la relazione , la densità risulta . Tutto questo discorso ha ovviamente senso per dielettrici lineari,omogenei e isotropi; inoltre, tutte le considerazioni energetiche fatte nel vuoto si applicano allo stesso modo nella materia (energia di condensatori, di densità di cariche ecc). La differenza sostanziale sta che, se l'energia nel vuoto conteneva sia l'energia di interazione utilizzata per costruire la densità di carica che l'autoenergia del campo elettrico, questa espressione contiene in più l'energia atta a ridefinire il sistema con le cariche di polarizzazione. Lo vediamo meglio con un esempio; l'esempio sfrutterà la simmetria sferica, tipica dell'isotropia e dell'omogeneità, quindi si applicherà, in generale, a tutti i dielettrici isotropi e omogenei con risposta lineare.

Consideriamo un dielettrico sferico, raggio , con costante . Nel dielettrico inseriamo una densità di carica libera , uniforme in tutto il volume. Calcoliamone l'energia usando le espressioni appenda discusse.

Per calcolare il campo utilizziamo la simmetria sferica, applicando il teorema di Gauss, e otterremo:

Da cui ricaviamo il campo elettrico in tutto lo spazio:

Ovviamente, fuori dal dielettrico è presente il vuoto, per questo la costante viene a coincidere con per . Ricaviamo subito la densità di energia:

Quindi, per calcolare l'energia dovremo calcolare . Su quali infinitesimi dobbiamo integrare? Per comodità li prenderemo tali che la densità di energia sia costante in essi; poiché la densità di energia è una funzione radiale, questi volumetti saranno dei gusci sferici spessi ; il loro volume sarà quindi , da cui otteniamo . Possiamo calcolare gli integrali:

Come abbiamo detto all'inizio, questo valore contiene sia l'energia per costruire la densità di carica libera che l'energia usata per riconfigurare il sistema con le cariche di polarizzazione. Ovviamente, non bisogna credere sulla parola a ciò che si dice, quindi dobbiamo vedere se è vero o meno. Se, quindi, calcoliamo l'energia atta solo a costruire la carica integrando su tutto lo spazio , la differenza tra le energie ci darà l'energia di polarizzazione del sistema. La densità di carica nel vuoto sarà:

Come osserviamo, questa è uguale a fuori dal dielettrico, ovvero nel vuoto, consistentemente con la teoria che abbiamo analizzato finora (non ci stiamo prendendo in giro, insomma). Calcoliamo l'energia allo stesso modo di quanto fatto prima, integrando su dischi sferici; il risultato sarà , che osserviamo essere minore del precedente; quindi la loro differenza sarà un valore positivo:

Questa sarà la nostra energia di polarizzazione, solo che non c'è nulla che ci dimostri che è davvero così. Quindi, dobbiamo trovare un trucchetto per riuscire a calcolarla esplicitamente; utilizzeremo un modello classico.

Fig. 4.8

Schematizziamo gli atomi, o le molecole, come delle molle lineari (essendo in un dielettrico lineare, ha senso); la molla è ideale e con lunghezza a riposo nulla; quando inseriamo l'atomo in un campo elettrico, le cariche si allontanano e la molla tira (figura 4.8), fino a quando non c'è equilibrio tra la forza elastica e la forza esercitata dal campo (un modo diverso per immaginare la polarizzazione per deformazione); in questo caso, la molla rappresenta il contributo esercitato dalla forza di Coulomb all'equilibrio. Gli atomi sono parte del nostro dielettrico sferico considerato finora, quindi il campo elettrico varierà radialmente e, con esso, l'allungamento della molla.

Quando saremo in equilibrio, quindi, avremo che ; il campo elettrico lo conosciamo, lo abbiamo calcolato prima: all'interno della sfera vale ; unendo le due espressioni, iniziamo a ricavare la costante :

A questo punto, possiamo sostituire ; ricordando che e :

L'energia di una molla è definita come , questa corrisponderà esattamente all'energia necessaria dell'atomo per polarizzarsi; quindi, per ottenere l'energia totale di polarizzazione, basterà integrare su tutto il volume; ricordando che il campo elettrico è radiale e i volumi in cui l'allungamento è uguale sono gusci sferici (esattamente come sopra avremo ):

Esattamente uguale alla differenza tra le energie del campo elettrico nella materia e nel vuoto, quindi l'espressione con include anche l'energia di polarizzazione del sistema. I calcoli fatti in questo esempio riguardano un dielettrico sferico; ricordando che abbiamo a che fare con dielettrici omogenei e isotropi, in cui quindi prevale la simmetria sferica, possiamo generalizzare questi calcoli a tutta la categoria dei dielettrici isotropi, omogenei e lineari che stiamo trattando.

Abbiamo anche potuto vedere come, comunque, i calcoli siano, se non difficili, abbastanza lunghi; questo, addirittura, è l'esempio più semplice che si possa considerare. Quindi, andando a complicare anche di poco il problema, i calcoli diventano molto lunghi e, a volte, non risolvibili. La teoria dell'elettrostatica nella materia, in generale, risulta quindi molto complessa a meno di non considerare esempi scemi e i più semplici possibili, che richiederanno comunque un po' di calcoli.

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