Problemi con conduttori

Con i conduttori si possono creare infiniti problemi diversi, e di solito sono un ottimo modo per valutare le conoscenze in una prova pratica.

Esempio (3.7)
Fig. 3.16: I conduttori dell'esempio 3.7

Prendiamo due conduttori sferici e concentrici (un condensatore sferico), dove la sfera interna ha raggio , la superficie interna del guscio dista dal centro e quella esterna dista . Supponiamo che la sfera interna abbia una carica e quella esterna una carica (figura 3.16), vogliamo calcolare le densità , e delle tre superfici sferiche, e la differenza di potenziale tra i due conduttori.

Poiché sulla sfera interna è presente una carica , sulla superficie interna del guscio si posiziona per induzione totale una carica ; di conseguenza, su quella esterna va a posizionarsi una carica . Applichiamo il teorema di Gauss prendendo come superficie gaussiana una superficie sferica centrata nel centro del condensatore e di raggio variabile; finché , il flusso è nullo perché ci troviamo all'interno del conduttore, e il campo elettrico è nullo. Quando poi passiamo a , la cosa non cambia, in quanto ci troviamo all'interno del guscio e il campo elettrico continua a essere nullo. Proprio qui la carica totale sarà , dove è la carica che si è posizionata sulla superficie interna, e quindi otteniamo, come avevamo presupposto, . Arrivando poi a la carica presente è . Tuttavia, ricordiamo che la carica totale del guscio resta , solo che dall'esterno osserviamo una carica sulla superficie pari a . Avendo queste informazioni, possiamo calcolare le densità:

Per calcolare i potenziali, osserviamo che i conduttori sono equipotenziali, quindi conviene calcolare prima il campo elettrico e poi integrarlo lungo un cammino radiale. Il campo sarà infatti radiale per simmetria sferica e vale (sfruttiamo il teorema di Gauss con superficie gaussiana una sfera centrata nel centro; i calcoli sono banali):

In figura 3.17 l'andamento del campo elettrico in funzione della distanza dal centro. Da questo risultato ricaviamo la differenza di potenziale:

Fig. 3.17: L'andamento del campo elettrico nel condensatore sferico; il campo è nullo nei tratti interni ai conduttori.

 
Esempio (3.8)

Restiamo in ambito di palle, e cambiamo problema; vogliamo questa volta risolvere un problema di Neumann: abbiamo delle cariche note sui nostri conduttori sferici e vogliamo ricavarne i potenziali. Avendo due conduttori, dovremo risolvere un sistema del tipo:

Fig. 3.18

Con i coefficienti perché la matrice è simmetrica. Per risolvere il problema procediamo così: mettiamo prima una carica sul conduttore 1, che è la sfera interna, e studiamo i potenziali senza mettere carica sul guscio; poi, per completare, facciamo l'opposto: mettiamo una carica sul guscio e studiamo il sistema.

Come possiamo vedere in figura 3.18, se mettiamo una carica all'interno questa si propaga per induzione fino alla superficie esterna, con una carica sulla superficie interna. Tuttavia, nella configurazione attuale abbiamo e , quindi il sistema si semplifica in e ; calcoliamo il campo elettrico: è uguale all'esempio precedente.

Posto , calcoliamo il potenziale:

Da questo possiamo ricavare il primo coefficiente:

Il potenziale del secondo conduttore, invece, è semplicemente , da cui ricaviamo i coefficienti:

Per ottenere invece il coefficiente , poniamo una carica sul conduttore 2 e nessuna sulla sfera interna. Stavolta, non accade nulla: la carica posta su 2 resta su 2, per il fenomeno della gabbia di Faraday, quindi avremo il potenziale generato da 2 come ; il coefficiente risulta uguale ai precedenti e abbiamo quindi la matrice dei coefficienti di potenziale:

 
Esempio (3.9)
Fig. 3.19: Le due configurazioni considerate nell'esempio 3.9.

Restiamo ancorati al nostro sistema di palle concentriche, stavolta vogliamo calcolare le variazioni di e di dopo aver portato il sistema in due configurazioni:

  • configurazione A: la superficie esterna del guscio viene collegata a Terra;
  • configurazione B: il conduttore interno viene collegato a quello esterno (figura 3.19).

Partiamo dalla configurazione A. Se il guscio è collegato a Terra, il suo potenziale è nullo, quindi ; d'altro canto, anche la sua carica fluisce tutta a Terra, quindi anche . Le densità restano invece invariate. Il potenziale , poiché non c'è più carica nella superficie esterna, cambia e diventa

Passiamo alla configurazione B. Se il conduttore interno si collega a quello esterno, allora tutto il sistema è un unico conduttore: il campo elettrico all'interno sarà nullo così come la carica totale interna sarà neutra. Da questa informazione ricaviamo che , mentre resta invariata con la carica sulla superficie.

Poiché il sistema è un unico conduttore, sarà equipotenziale e quindi

 
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