Il metodo delle immagini

Storicamente, il metodo delle immagini, chiamato anche metodo delle cariche immagine o immaginarie (in inglese, the method of images) è un trucco astuto che sfrutta l'unicità della soluzione dell'equazione di Poisson, permettendo di risolvere problemi anche molto complicati in cui sono presenti nello spazio conduttori e cariche elettriche isolati. Il trucco consiste nel dimenticarsi il problema da risolvere, immaginare un altro problema di cui si conosce tutto e applicarlo nello spazio del primo. Vediamo come.

La carica immagine per un piano[modifica | modifica wikitesto]

Fig. 3.21: L'esempio classico del metodo delle immagini.

Per spiegare il metodo delle immagini non c'è strada migliore che un esempio classico. Abbiamo un piano infinito conduttore posto nello spazio, collegato a terra (potenziale nullo), e, a una distanza finita da questo, una carica elettrica positiva. Quale sarà il potenziale in tutto lo spazio di questa configurazione? (figura 3.21)

Il problema è, a prima vista e a tutti gli effetti, irrisolvibile. Non c'è modo analitico in cui possiamo esprimere, a partire da questo sistema, il potenziale della distribuzione. Infatti, la carica induce sul conduttore una carica negativa, con non uniforme (immaginiamo infatti che sia maggiore sul piede della perpendicolare che nel resto del conduttore), e questa a sua volta genera un potenziale nello spazio; poiché non abbiamo la più pallida idea di come si disponga la carica indotta sul conduttore e, quindi, di che potenziale genera, non possiamo rispondere a questa domanda.

Tuttavia, conosciamo il metodo in cui risolvere il problema (solo che non sappiamo risolverlo): il potenziale nello spazio è soluzione dell'equazione di Poisson con le seguenti condizioni al contorno:

Ovvero nulla di nuovo: è presente una carica puntiforme in , il potenziale del piano è nullo perché il conduttore è collegato a terra e il potenziale all'infinito è nullo.

Perfetto, dimentichiamoci di questo problema. Prendiamo un nuovo spazio vuoto dove nella posizione c'è la stessa carica puntiforme , non è presente alcun piano conduttore nello spazio e, nel punto , ovvero il simmetrico rispetto al piano del punto della carica originaria, piazziamo una carica negativa . Di questo problema conosco tutto: potenziale, campo elettrico, energia elettrostatica, la forza con cui le cariche si attraggono. Per esempio, il potenziale, per il principio di sovrapposizione, vale:

Osserviamo che, per , il potenziale è nullo. Inoltre, per , il potenziale tende ad annullarsi. E la carica puntiforme in è positiva. Questo potenziale ha le stesse condizioni al contorno del problema che volevamo risolvere: per il teorema di unicità della soluzione, questo è il potenziale del primo problema, poiché risolve l'equazione di Poisson con le stesse condizioni al contorno. Il trucco del metodo delle immagini, quindi, sta tutto nel trovare una particolare distribuzione di cariche discreta o continua che generi un potenziale nello spazio ma che non deve essere un potenziale qualunque: deve rispettare le condizioni al contorno del problema di partenza. Se nel problema è presente un conduttore, la superficie di questo conduttore è equipotenziale, quindi la distribuzione che andremo a cercare sarà proprio una distribuzione che generi nello spazio una superficie equipotenziale nella posizione del conduttore. In questo modo, se il potenziale è costante lungo quella superficie, che il conduttore ci sia o non ci sia non cambia nulla, perché non perturba il potenziale. (con una piccola precisazione: non perturba il potenziale nello spazio che ci interessa. Lo vedremo meglio nel caso del conduttore sferico).

Ora che conosciamo il potenziale, conosciamo tutto del nostro problema: possiamo calcolare il campo elettrico come , possiamo anche calcolare la densità di carica : in un punto vicino la superficie, vale , da cui ricaviamo:

Derivando il potenziale e ponendo otteniamo la densità superficiale della carica indotta sul piano conduttore:

Per ottenere la carica totale indotta basta integrare , ma non serve: poiché il piano è infinito, la carica e il conduttore sono in induzione totale e quindi la carica indotta è .

Possiamo addirittura calcolare la forza con cui la carica è attratta dal conduttore, sempre usando la carica immaginaria: sarà la forza attrattiva tra le due cariche, quindi

Quindi, il problema con la carica immaginaria risolve il problema col conduttore, tranne che in un caso: l'energia elettrostatica. Se usiamo la carica immagina, abbiamo:

Ma se calcoliamo l'energia del problema col piano, otteniamo esattamente la metà. Infatti il problema delle cariche immagine resta un problema diverso dal primo, che ha una configurazione spaziale diversa: in particolare, il sistema con le cariche immagine genera un potenziale in tutto lo spazio, mentre il sistema col piano conduttore ha un potenziale non nullo solo nel semispazio : il piano conduttore scherma tutto quello che c'è nel semiasse positivo di e, quindi, per c'è solo il vuoto. Quindi, assumendo che l'energia è contenuta nello spazio in cui il campo elettrico è diverso da zero, poiché questo spazio è esattamente la metà di quello del problema con le cariche immagine, concludiamo che l'energia elettrostatica è esattamente la metà.

La carica immagine per un conduttore sferico[modifica | modifica wikitesto]

Possiamo utilizzare il metodo delle immagini anche per risolvere altri sistemi che non comprendano un piano conduttore infinito. Nel caso del piano, con una qualsiasi distribuzione di carica in un semispazio, basta prendere una distribuzione si carica simmetrica rispetto al piano per risolvere il problema, esattamente come nel caso della carica singola.

Fig. 3.22

Se invece abbiamo un conduttore sferico e una carica, le cose cambiano un poco. Stavolta il potenziale è generato in un tutto lo spazio escluso il volume del conduttore (che è equipotenziale e dipende da fattori diversi), e la carica indotta si posiziona, anche stavolta, non uniformemente lungo la superficie sferica. La carica immagina dovrà trovarsi internamente al conduttore, così da rendere equipotenziale la stessa superficie del conduttore, quindi sarà anche di segno opposto. Come facciamo, però, a sapere in quale posizione e quale carica prendere?

Facciamo riferimento alla figura 3.22: la carica esterna si trova a distanza dal centro della sfera, mentre la carica immagine si trova a distanza interna alla sfera. Chiamati e i vettori che vanno dalle cariche a un generico punto appartenente alla superficie sferica, il potenziale lungo questa deve essere nullo, ovvero:

Risolvendo questa equazione, deve essere vero , in particolare deve essere vero per ogni angolo . Otteniamo il sistema:

Dividendo membro a membro le due, otteniamo . Risolvendo l'equazione di secondo grado in , otteniamo due soluzioni: la prima è , a cui corrisponde , ovvero la soluzione banale e impossibile: se posizioniamo la carica immagine nel punto della prima carica, con segno opposto, annulliamo tutto e il potenziale ovunque è nullo, ma è impossibile mettere le cariche nello stesso punto nello spazio, quindi fuffa. La seconda soluzione è quella ci interessa:

Quindi, posizionando una carica nel punto lungo la congiunte tra il centro e la carica, otteniamo un problema equivalente a quello in cui è presente il conduttore con la carica. Quindi il potenziale in tutto lo spazio vale:

Possiamo anche calcolare la forza con cui la carica è attratta dalla sfera:

Un caso particolare[modifica | modifica wikitesto]

In tutto il nostro discorso su conduttori che si inducono, abbiamo sempre dato per scontato che una carica induce su un conduttore una carica opposta e, quindi, i due si attraggono. Esiste un caso particolare, scoperto molto recentemente (nel 2011), in cui una carica e un conduttore, in induzione, si respingono.

Fig. 3.23: Il conduttore semisferico e la carica.

Per avere questo effetto, si ha bisogno di un guscio semisferico conduttore sottilissimo, così sottile da non avere spessore; se viene posta una carica sull'asse di simmetria (figura 3.23), questa risente di una forza repulsiva sia che si trovi molto lontano, sia che si trovi nelle immediate vicinanze del conduttore. Tuttavia, esiste un punto in cui si respingono.

Se prendessimo la carica isolata, questa genererebbe nello spazio un campo radiale, le cui superfici equipotenziali sono delle sfere. Quindi, che il guscio semisferico ci sia oppure no, non fa differenza (esattamente come nell'idea alla base del metodo delle immagini). In parole povere, che il conduttore si trovi all'infinito, o che si trovi nella sua posizione, non cambia il risultato, quindi l'energia elettrica è uguale sia all'infinito che nella posizione in cui si trova . Dal teorema di Thomson (che non abbiamo dimostrato) vale che per ogni . Quindi, solo in questo caso particolare, abbiamo che l'energia potenziale ha un minimo (figura 3.24): infatti, o è nulla ovunque, o presenta un minimo, perché . Questo vuol dire che in un punto deve cambiare segno la derivata prima dell'energia potenziale, e deve vale da qualche parte . Per questo motivo, dato che , esiste un punto in cui la forza passa da attrattiva a repulsiva.

Fig. 3.24: L'andamento dell'energia potenziale; poiché assume lo stesso valore nell'origine e all'infinito, deve esserci un minimo da qualche parte.

Sebbene questo possa sembrare strano e anche difficile da accettare, è dovuto alla natura del problema. Infatti, poiché il conduttore ha uno spessore inesistente, le cariche non si distribuiscono lungo la superficie interna o esterna, ma devono trovarsi tutte lungo la stessa superficie sferica. Le cariche negative, quindi, attratte dalla carica, si sposteranno nei punti più vicini, mentre quelle positive tenderanno ad allontanarsi e quindi ad ammassarsi alle estremità del guscio (figura 3.25). La proiezioni lungo l'asse della forza dipende linearmente da . Le cariche negative sono più vicine alla carica positiva, quindi hanno un più piccolo, ma l'angolo che formano con la verticale è più grande, quindi tende a diminuire. Al contrario, le cariche positive hanno si una distanza più grande, ma l'angolo è più piccolo. Esisterà quindi un punto dove la forza generata da queste cariche prevarrà su quella generata dalle cariche negative e, quindi, il conduttore e la carica si attrarranno.

Fig. 3.25: Le cariche positive si posizionano più lontane.
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