Esercizi sui dipoli

Unitile dire che con i dipoli ci si possono fare tanti esercizi belli e carini. Vediamone alcuni

Esempio (3.1)
Fig. 3.5: Il modello dell'esempio 3.1

In questo esempio prendiamo come distribuzione di carica un anello carico, con densità di carica lineare variabile pari a , dove è l'angolo formato dal raggio dell'anello e l'asse . In figura 3.5 è presentato il modello e una rappresentazione schematica di come si dispongono le cariche sull'anello. L'obiettivo dell'esercizio è calcolare campo elettrico e potenziale generati dall'anello a grande distanza, dove potremo utilizzare l'approssimazione di dipolo.

A tutti gli effetti, questo modello è un dipolo; da una parte ci sono le cariche positive, dall'altra quelle negative. Ci aspettiamo quindi che il suo momento di dipolo sia orientato parallelo all'asse , e inoltre, per come è definita la densità , ci aspettiamo anche che la carica totale sia neutra. Partiamo da questa.

Poiché , il calcolo dell'integrale è elementare. Andiamo allora a calcolare il suo momento di dipolo. Osservando la figura, notiamo come , da cui otteniamo il momento di dipolo:

Integrando su tutto l'anello (attenzione: l'integrale va da a , perché il sistema è simmetrico) otteniamo . Per calcolarne le componenti procediamo ognuna per ognuna:

Come ci aspettavamo, abbiamo ottenuto che il momento di dipolo è diretto parallelamente all'asse ed è pari a . Per calcolare potenziale e campo elettrico di dipolo non resta che applicare le formule viste nella sezione 3.1:

 
Esempio (3.2)
Fig. 3.6: Le due configurazioni del dipolo nell'esempio 3.2

Abbiamo un dipolo posizionato sull'asse in due configurazioni: configurazione A, il dipolo ha momento parallelo all'asse , ovvero ; configurazione B, il momento di dipolo è parallelo all'asse , ovvero . Nell'origine è posizionata una carica positiva che genera un campo elettrico; tutto il sistema è posto a quota . Calcoliamo la forza e il momento che subisce il dipolo in entrambe le configurazioni. Fare riferimento alla figura 3.6.

Dalla sezione 3.1 sappiamo che e . Da una prima occhiata, poiché nella configurazione A la carica negativa è più vicina all'origine, possiamo dire che la forza attrarrà il dipolo verso la carica generatrice del campo. Viceversa, nella configurazione B le cariche si trovano alla stessa distanza dall'origine, quindi la forza sarà parallela al momento di dipolo, ovvero diretta lungo . Calcoliamo la forza nella configurazione A:

(questo ricordando che ). Calcoliamo le componenti:

Per la configurazione B, i calcoli sono identici, solo variano le componenti e ; possiamo quindi scrivere le forze nelle due configurazioni in forma vettoriale:

Dove abbiamo indicato con la distanza dall'origine del punto medio di .

Per il calcolo dei momenti, potremmo procedere passo passo calcolando il prodotto vettoriale tra i due, ma basta osservare che nella configurazione B il dipolo è già parallelo all'asse, quindi e il loro prodotto vettoriale è nullo, mentre nella configurazione A, mentre la forza spinge il dipolo all'infinito lungo , il momento tenderà a metterlo parallelo al campo, quindi la rotazione avverrà lungo l'asse . I due momenti sono allora:

 
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