Energia del campo elettrico

Nella sezione 2.6 avevamo brevemente accennato all'energia potenziale elettrica, in maniera molto approssimativa e senza discutere fino in fondo la questione. Ci proponiamo di rimediare qui.

Energia elettrica del condensatore[modifica | modifica wikitesto]

Prendiamo, per esempio, un condensatore piano carico, che avrà carica su un'armatura e sull'armatura opposta, poste a una tensione (differenza di potenziale) . È ovvio che le due armature si attraggano: hanno carica opposta. Quindi, se fossero lasciate libere di muoversi, la forza di Coulomb compierebbe lavoro spostandole fino a farle entrare in contatto: è evidente che deve esserci un'energia potenziale nel condensatore, in quanto c'è "potenza" di fare lavoro.

Ci chiediamo quindi: qual è l'energia del condensatore piano? L'energia potenziale è, per definizione, uguale al lavoro compiuto per spostare le cariche, in questo caso al lavoro compiuto per caricare il condensatore. Prendiamo allora un condensatore scarico e, mano a mano, spostiamo una carica (partendo dall'infinito) su un'armatura fino a quando non avremo da una parte e sull'armatura opposta. La prima carica è gratis: spostandola, poiché non è presente campo elettrico nello spazio, non compiamo alcun lavoro. Dalla seconda in poi dovremo compiere lavoro contro il campo elettrico generato dalle cariche già presenti sulle armature. Il lavoro del campo elettrico è definito come ,, per cui avremo l'infinitesimo di lavoro posto come:

Dove è la capacità del condensatore e è la carica presente sul condensatore al momento in cui sposto sulle armature. Integrando per calcolare il lavoro otteniamo:

è l'energia elettrica del condensatore.

Energia elettrica del campo elettrico[modifica | modifica wikitesto]

Se abbiamo potuto calcolare il lavoro per caricare un condensatore, possiamo allora calcolare anche il lavoro necessario a costruire una generica distribuzione di carica. Partiamo dal caso discreto: abbiamo tante cariche poste nello spazio, identificate ognuna dalla propria posizione rispetto a un sistema di riferimento scelto. Queste cariche hanno un'energia potenziale: se, ad esempio, fossero tutte positive, se fossero libere di muoversi, si respingerebbero fino all'infinito, hanno quindi potenzialità di compiere lavoro.

Quindi, per calcolare l'energia potenziale della distribuzione, spostiamo tutte le cariche dall'infinito alla loro posizione e calcoliamo il lavoro compiuto; sommandoli, otterremo l'energia della distribuzione. Il lavoro compiuto sarà, ovviamente:

Dove è il campo elettrico generato dalle altre cariche già presenti nello spazio. In tutti questi calcoli consideriamo, ovviamente, . Per tale, dalla definizione di potenziale elettrico, il lavoro sarà anche uguale a:

Dove anche stavolta vale che è il potenziale generato dalle cariche già presenti nello spazio, in cui quindi non è inclusa la carica . Andiamo a calcolarlo: la prima carica è gratis, poiché non è presente un campo elettrico nello spazio. Dalla seconda avremo:

Andando a sommare, il lavoro complessivo per le prime quattro cariche è del tipo:

Generalizzando, per cariche varrà:

L'ultimo termine è, per il principio di sovrapposizione, il potenziale generato dalle cariche esclusa la ; lo chiameremo , in questo modo il lavoro, o meglio, l'energia potenziale elettrica è:

Questa espressione può ovviamente essere estesa al caso continuo, con densità di cariche diverse:

In questi casi, però, il potenziale è il potenziale generato da tutta la distribuzione di carica, incluso l'elemento considerato. Questa sottile differenza è, in realtà, un'enorme differenza, che vedremo meglio tra poco.

Esempio (3.3 Energia del quadrupolo elementare)
Fig. 3.15: Un quadrupolo

Abbiamo introdotto nella sezione 3.1 i multipoli, tra cui compare anche il quadrupolo, una particolare distribuzione in cui sia la carica totale che il momento di dipolo sono nulli e si passa quindi al termine successivo del potenziale di multipolo. In figura 3.15 il nostro quadrupolo considerato. Qual è l'energia elettrostatica? Calcoliamo volta per volta, ricordando che il quadrato ha lato :

L'energia sarà allora:

 
Esempio (3.4 Energia del condensatore piano)

Questo lo abbiamo già calcolato, però stavolta procediamo diversamente, applicando l'espressione . Le armature hanno superficie , i potenziali , quindi:

Esattamente come avevamo già calcolato.

 

Autoenergia e energia di interazione[modifica | modifica wikitesto]

Ora, giochiamo un po' con le formule. Consideriamo l'espressione

In questa, il volume contiene tutta la distribuzione di carica , e quest'ultima è legata alla prima equazione di Maxwell, tramite l'espressione ; sostituendo nell'espressione dell'energia:

Diamo un senso all'espressione ; se scriviamo la divergenza del campo :

Nel secondo passaggio abbiamo sostituito ; da questa ricaviamo l'espressione ; andandola a sostituire nell'espressione dell'energia otteniamo due integrali:

Abbiamo ottenuto, quindi, che l'energia potenziale elettrica è la somma di un integrale di volume e di un flusso; l'integrale di volume è una forma quadratica del campo elettrico, mentre il flusso è del campo potenziale per il campo elettrico. Ma cosa significa tutto ciò?

Prima di tutto, consideriamo un volume ; questo conterrà ancora la distribuzione di carica, e l'integrale di , poiché cresce come un quadrato, potrà o crescere sempre, o restare nullo perché è zero. Però, l'energia totale è costante, ha un valore ben definito, quindi se il primo termine cresce, il secondo termine, ovvero il flusso, deve decrescere. Quindi, si ci espandiamo fino a integrare su tutto lo spazio in cui è definito il campo elettrico, l'integrale di superficie diventa nullo, quindi l'energia potenziale elettrica può essere scritta come:

Dove con indichiamo integrale su tutto lo spazio in cui il campo elettrico è non nullo (AS sta per All Space). Osserviamo che il termine moltiplicato per un volume da un'energia, quindi è una densità volumica di energia elettrica che possiamo definire come:

Dopo tutto questo discorso, è un po' più chiaro il perché l'energia elettrica è la somma di un integrale di volume e un integrale di flusso: integrando su un volume che contiene il campo elettrico, se le linee di campo escono da questo volume, allora bisogna aggiungere qualcosa per "non perdersi i pezzi", e il contributo è dato proprio dal flusso attraverso il bordo del volume del campo . Tutto questo è molto carino, ma... Qualcosa scricchiola.

Che hanno a che fare l'espressione e ? Addirittura, la prima può anche essere negativa, mentre la seconda, poiché dipende da , è definita positiva. La differenza l'abbiamo già detta: nella prima, il potenziale è il potenziale generato da tutte le cariche eccetto la , mentre nella seconda il potenziale è generato da tutta la distribuzione di carica. Così facendo, andando poi a integrare su tutto il volume, la seconda espressione rappresenta qualcosa in più rispetto alla prima. Infatti, l'espressione

è detta energia elettrica di interazione, non contiene il lavoro compiuto per costruire la distribuzione, e ci dice anche che l'energia è contenuta nella carica elettrica. L'altra espressione, d'altro canto:

rappresenta l'energia totale del sistema, ovvero la somma dell'autoenergia del campo e dell'energia di interazione; il termine autoenergia è un termine moderno della teoria dei campi che indica l'energia posseduta dal campo stesso. Inoltre, questa espressione ci dice che l'energia è contenuta nel campo elettrico (ad essere più precisi, nello spazio in cui è definito non nullo il campo elettrico). Inoltre, questa contiene il lavoro compiuto per costruire la distribuzione di carica.

Allora, dove diavolo sta quest'energia? Nelle cariche o nel campo? In realtà, non ci sono prove che indichi che si trova in una piuttosto che nell'altro; c'è però una teoria moderna, che è la relatività generale, in cui l'assunzione che l'energia sia contenuta nel campo (gravitazionale) è essenziale: da questa, tutte le moderne teorie dei campi assumono che l'energia sia contenuta nel campo generatore e non nella carica generatrice.

Tra l'altro, per concludere, se per forza di Coulomb, campo elettrico e potenziale valeva il principio di sovrapposizione, per l'energia elettrica non vale. Infatti dipende quadraticamente dal campo elettrico: se avessimo due sistemi che generano due campi elettrici, il campo totale sarebbe , e l'energia avrebbe espresisone:

È quindi ovvio che non valga il principio di sovrapposizione. Inoltre, proprio il termine indica l'energia di interazione tra i due sistemi, mentre le forme quadratiche indicano le autoenergie dei sistemi.

L'autoenergia è data dall'espressione , perché il potenziale è generato anche dall'infinitesimo , mentre l'energia di interazione è data dalla forza di Coulomb. Come possiamo spiegarlo in un esempio? Semplice.

Prendiamo un numero spropositato di elettroni, va abbastanza bene, e li racchiudiamo tutti in un volumetto molto piccolo; ne creiamo due di questi volumetti, e li posizioniamo nello spazio. Poiché entrambi hanno carica negativa (e anche molto alta, elettroni non sono mica popcorn), tendono a respingersi all'infinito. Questa è l'energia di interazione. Tuttavia, i due volumetti tendono a scoppiare, ovvero a mandare tutti gli elettroni a distanza infinita tra loro: se fossero liberi di muoversi, compirebbero lavoro. Questa è l'autoenergia del sistema.

Esempio (3.5)

Vogliamo calcolare l'energia del condensatore piano (per la terza volta) utilizzando, questa volta, la densità di energia elettrica. Il campo elettrico del condensatore è:

Ovviamente, trascuriamo gli effetti di bordo e facciamo finta che le armature siano infinite. La densità di energia è quindi:

Osserviamo come corrisponda anche alla pressione elettrostatica; questo non è un caso e lo vedremo nelle prossime sezioni. Il volume in cui è definito il campo elettrico non nullo è il volume tra le armature del condensatore, ovvero <math<\tau= S d</math>: integrando la densità di energia otteniamo per la terza volta l'energia del condensatore piano.

 
Esempio (3.6)

Prendiamo un conduttore sferico di raggio e calcoliamone l'energia. La carica è sulla superficie, quindi avremo una densità costante per simmetria sferica. Il campo elettrico, poiché è un conduttore, all'interno è nullo e all'esterno è diverso da zero; calcoliamo l'energia come:

Ricordando che il potenziale di un conduttore sferico (che vedremo meglio nella prossima sezione dedicata ai problemi) possiamo calcolare esplicitamente l'energia:

Da questo risultato, potremmo calcolare il raggio dell'elettrone: se questo fosse una sfera, potremmo porre uguale l'energia elettrica all'energia a riposo dell'elettrone e calcolarne il raggio:

In realtà, da prove sperimentali si osserva che l'ordine di grandezza dell'elettrone è di : ciò è dovuto alla natura quantistica del problema; il calcolo che abbiamo qui compiuto è in forma classica, ma non possiamo trascurare tutti gli effetti quantistici che entrano in gioco.

 
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