Conduttori in configurazione statica: gabbia di Faraday e pressione elettrostatica

Abbiamo elencato le proprietà dei conduttori, tra cui anche il fenomeno fondamentale per cui il campo elettrico all'interno è sempre nullo. Questo è dimostrabile, ma non lo faremo, ed è noto come teorema di Thomson dell'elettrostatica e afferma che le cariche di un conduttore, quando sono all'equilibrio elettrostatico, si dispongono in maniera tale che l'energia potenziale elettrostatica è minima, rendendo equipotenziale il volume del conduttore; osserviamo che questo teorema non dimostra esplicitamente che il campo è nullo ma, osservando che , arriviamo alla conclusione.

Lavoro di estrazione e cariche in prossimità di un conduttore[modifica | modifica wikitesto]

Abbiamo detto che in un conduttore, da cui segue che il potenziale è costante in tutto il volume. Tuttavia abbiamo anche osservato che sulla superficie immediatamente esterna al conduttore c'è un campo normale alla superficie, diverso da zero, per cui su questa superficie è presente un potenziale ; questa differenza di potenziale è detta lavoro di estrazione ed è la quantità di energia (o lavoro) che bisogna fornire a un elettrone per permettergli di lasciare il conduttore. In tutte le nostre osservazioni future trascureremo questa differenza, come se non ci fosse, anche se sappiamo che in realtà esiste.

La domanda successiva che ci poniamo è: "cosa accade quando avvicino una carica a un conduttore?" Ovviamente la carica è statica e ancorata a rimanere nella posizione in cui viene messa. Quando avviciniamo una carica a un conduttore, le cariche all'interno di questo si muovono, in modo che il campo elettrico interno è nullo, e le cariche negative si avvicinano alla carica esterna mentre le positive "tendono" a spostarsi dall'altra parte (anche se sappiamo che una carica positiva è un difetto di elettroni, perché negli atomi i nuclei sono fissi), in questo modo il conduttore si polarizza, e acquisisce un momento di dipolo. Un altro cambiamento radicale riguarda la densità che dopo la polarizzazione è diversa dalla configurazione precedente.

Conduttori "bucati": la gabbia di Faraday[modifica | modifica wikitesto]

E se invecee abbiamo un conduttore globalmente neutro ma "bucato"? Per bucato intendiamo un conduttore che abbia una qualsiasi cavità di qualsiasi forma al suo interno. In questo caso, il conduttore ha due superfici, quella esterna e quella interna, che circonda la cavità. Le cariche dove si disporranno? La risposta resta solo sulla superficie esterna: se si disponessero anche sulla superficie interna, potremmo applicare il teorema di Gauss a qualsiasi superficie interna al conduttore che contenga la superficie di cavità, e il flusso del campo elettrico attraverso questa sarebbe necessariamente diverso da zero, così come il campo elettrico, che però sappiamo essere nullo nel conduttore, quindi ne concludiamo che le cariche si dispongono solo sulla superficie esterna.

Un'altra domanda che spesso ci si pone è: "il campo elettrico è nullo nella cavità?" La risposta è , ed è una conseguenza della conservatività del campo. Se infatti ci fosse un campo diverso da zero nella cavità, potremmo costruire un qualsiasi percorso chiuso (figura 3.10 A) che passa per la cavità e nel conduttore e l'integrale del campo lungo questo percorso sarebbe diverso da zero, il che è assurdo poiché sappiamo che il campo è conservativo.

Concludiamo che all'interno del conduttore il campo nullo, sia nel materiale che nella cavità: se poniamo quindi una carica qualsiasi sulla superficie del conduttore, questa resterà sulla superficie e non ci saranno mutamenti di sorta nella cavità. Questo fenomeno è meglio conosciuto come gabbia di Faraday (o schermo elettrostatico) ed è il motivo per cui, se colpiti da un fulmine mentre siamo in auto, la scarica si riversa tutta sulla superficie esterna dell'auto (per poi finire a Terra) e non subiamo danni diretti.

Dall'interno? Non c'è lo schermo elettrostatico[modifica | modifica wikitesto]

Al contrario, cosa accade se poniamo una carica (supponiamo positiva) all'interno della cavità? Per induzione, sulla superficie interna del conduttore si poserà una carica , tuttavia il conduttore è neutro, quindi sulla superficie esterna resta una carica visibile dall'esterno (figura 3.10 B). Quindi, se mettiamo una carica all'interno di un conduttore cavo, dall'esterno vedremo il conduttore carico della stessa quantità, ovvero i conduttori non schermano all'esterno ciò che è all'interno, ed è come se il conduttore non ci fosse (in termini di carica totale).

Fig. 3.10: Nella figura A l'impossibile presenza di un campo elettrico nella cavità di un conduttore, nella figura B è schematizzato lo schermo elettrostatico.

Pressione elettrostatica: potere delle punte[modifica | modifica wikitesto]

Abbiamo parlato del teorema di Coulomb nella sezione 3.3, elencando le proprietà dei conduttori, concludendo che il campo elettrico immediatamente all'esterno della superficie di un conduttore è , dove è la densità di carica nel punto in cui è calcolato il campo elettrico. Da questo ne ricaviamo che le cariche contenute nell'infinitesimo di superficie relativo a subiscono una forza che li tende a far fuoriuscire dal conduttore; si parla quindi di pressione elettrostatica:

La cosa interessante è che il campo elettrico subito dalle cariche in è generato da tutte le altre cariche del conduttore. Vediamo meglio ciò di cui stiamo parlando.

Consideriamo il nostro conduttore con la sua superficie ; di questa consideriamo un infinitesimo ; il campo elettrico totale sarà la somma dei campi generati da e da (per il principio di sovrapposizione); approssimando, possiamo considerare l'infinitesimo di superficie come se fosse un piano infinito di carica, che genera quindi un campo elettrico pari a:

Ovvero l'infinitesimo genera due campi uguali e discordi in verso, quindi la risultante delle forze subite dalle cariche in è nulla in quanto il campo lo è.

Tutta la superficie genera invece il campo al di fuori e e all'interno; quindi la superficie genera un campo:

Ovvero il campo generato sull'infinitesimo è generato da tutte le cariche del conduttore eccetto quelle in ; da questo otteniamo l'espressione della pressione elettrostatica:

Va come , quindi è sempre uscente dal conduttore. Inoltre, proprio per questa proporzionalità quadratica, se aggiungiamo sempre più cariche al conduttore aumenta anche e quindi è più facile che le cariche fuoriescano dal conduttore stesso.

Un'altra cosa che è possibile dimostrare è che è inversamente proporzionale al raggio di curvatura, cioè che la pressione elettrostatica aumenta notevolmente in presenza di punte. Per poterlo fare, si consideri il conduttore in figura 3.11 formato da due sfere, una più piccola e una più grande, di raggio rispettivamente e , con carica e , collegate tra loro da un filo sottilissimo di massa e carica trascurabile. Dalle proprietà dei conduttori sappiamo che questo unico conduttore è equipotenziale, quindi vale che il potenziale della sfera più piccola è uguale a quello della sfera più grande:

Andando a sostituire questo risultato nel rapporto dei campi elettrici generati dalle due sfere:

Fig. 3.11: un conduttore in cui la punta è approssimata da una piccola sfera e un filo minuscolo.

Ovvero possiamo dire che il campo elettrico è inversamente proporzionale al raggio di curvatura del conduttore ; di conseguenza anche la pressione elettrostatica lo è, quindi il presenza di piccoli raggi di curvatura (come nel caso delle punte) la pressione che percepiscono le cariche è altissime; questo è il principio alla base dei parafulmini e delle aste che scaricano nell'aria le cariche elettriche (per esempio sulle ali degli aerei).

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