Capacità, induzione, condensatori

Capacità elettrica[modifica | modifica wikitesto]

Un conduttore ideale è, come abbiamo già anticipato, un contenitore infinito di portatori di carica. Nel vuoto, se isolato, genera un potenziale una volta che viene caricato con una carica . Come varia il potenziale se mettessimo una carica , con ovvero una qualsiasi quantità di carica diversa? La risposta spontanea è dire che varia proporzionalmente con la quantità di carica, il che è vero a tutti gli effetti, ma perché?

La risposta risiede nell'unicità della soluzione dell'equazione di Laplace . Poste infatti delle condizioni al contorno ( vale un noto valore sulla superficie del conduttore e vale , abbiamo quindi due condizioni al contorno) la soluzione sarà unica; avendo quindi il potenziale una volta risolta l'equazione di Poisson, possiamo calcolare il campo elettrico calcolando il gradiente del potenziale. Poi, dal campo elettrico in prossimità della superficie possiamo ricavare e, da questa, possiamo ottene la carica come . Osserviamo come tutti questi passaggi siano operazioni lineari: se poniamo una carica sul conduttore, procedendo al contrario, poiché i passaggi sono tutti lineari giungiamo a un potenziale . Possiamo quindi dire che il rapporto tra carica e potenziale è costante e si definisce come capacità elettrica del conduttore:

L'unità di misura nel Sistema Internazionale è il faraday. La capacità dipende solo ed esclusivamente dalla geometria del conduttore.

Induzione tra conduttori[modifica | modifica wikitesto]

Fig. 3.12: Un conduttore carico che induce un altro conduttore neutro, polarizzandolo.

Iniziamo a parlare di induzione tra conduttori, una questione spinosa e non molto intuitiva. Non è facile comprendere appieno cosa accade quando sono presenti più conduttori nello spazio, e spesso il risultato è il contrario di ciò che per istinto pensiamo sia. Prendiamo, per esempio, un conduttore carico con carica a cui avviciniamo un conduttore globalmente neutro; questo secondo conduttore si polarizzerà (figura 3.12) e il potenziale del primo conduttore varierà, e la variazione è causata dalla presenza di due distinte cariche nello spazio generate dalla polarizzazione del secondo conduttore:

Inoltre, i potenziali perché le cariche sono a diversa distanza dal conduttore. Poiché è cambiato il potenziale, ma la carica sul conduttore è rimasta , a causa dell'induzione anche la capacità è cambiata.

E se invece di avere due conduttori, ne avessimo ? Ognuno di questi ha carica e superficie e, per risolvere questo problema, sfruttiamo il principio di sovrapposizione del potenziale: prendiamo configurazioni in cui il conduttore ha carica ma tutti gli altri hanno carica nulla; poi, sommiamo queste configurazioni per ottenere la configurazione finale.

Il potenziale in un qualsiasi punto dello spazio è soluzione dell'equazione di Laplace con condizioni al contorno:

Sappiamo che la soluzione esiste ed è unica. Otteniamo quindi soluzioni del tipo e, sommandole, otteniamo il potenziale sul conduttore dato da:

La matrice è una matrice dimensionale simmetrica ed è chiamata matrice dei coefficienti di potenziale; inoltre vale . I coefficienti dipendono solo dalla geometria dei singoli conduttori e del sistema generale (come sono posizionati nello spazio, le rispettive distanze ecc). Date quindi le cariche dei conduttori, se conosciamo i coefficienti possiamo trovare i potenziali, risolvendo quello che è chiamato problema di Neumann. Al contrario, se conosciamo i potenziali e vogliamo ricavare le cariche, ovvero dobbiamo risolvere un problema di Dirichlet, possiamo invertire la matrice ottenendo:

Detta matrice dei coefficienti di induzione, e per questa possiamo applicare:

Induzione completa: i condensatori[modifica | modifica wikitesto]

Si parla di induzione completa o induzione totale quando le linee di campo elettrico generato da un conduttore terminano completamente sull'altro; questo ha come conseguenza che il primo conduttore induce totalmente la sua carica al secondo, che avrà quindi la stessa carica superficiale del primo ma di segno opposto.

Fig. 3.13: I tre tipi di condensatori

L'unico modo di avere induzione totale è mettere i conduttori uno dentro l'altro, come ad esempio due sfere concentriche. Proprio questi sistemi di conduttori vengono chiamati condensatori e esistono in tre tipi: sferici, cilindrici o piani. In figura 3.13 i tre tipi di condensatori.

Per quanto riguarda il condensatore sferico, l'induzione totale è sempre presente. Per i cilindrici o piani, invecee, l'induzione totale si ottiene solo nel caso di condensatori infiniti, in cui non sono presenti gli effetti di bordo e le linee di campo si comportano come nei modelli. Nella realtà non si può avere ovviamente un condensatore di dimensioni infinite, quindi si tende ad aumentare la lunghezza e a diminuire la distanza tra le armature (ovvero le superfici) del condensatore, riducendo in questo modo gli effetti di bordo.

Capacità di un condensatore[modifica | modifica wikitesto]

Supponiamo di avere un condensatore sferico, con una carica al suo interno, che induce una carica sulla superficie interna del guscio; la superficie esterna del guscio è collegata a Terra, ha quindi potenziale nullo. Applicando la formula di induzione tra conduttori abbiamo che (l'indice 1 si riferisce alla sfera interna, l'indice 2 alla superficie interna del guscio):

Dove nell'ultimo passaggio abbiamo considerato la simmetria della matrice per la quale ; si definisce di conseguenza capacità elettrica del condensatore:

Ovvero è una funzione dipendente dai coefficienti di potenziale. Ogni condensatore ha una sua capacità, che dipende dalla geometria del sistema.

Condensatori in serie o in parallelo[modifica | modifica wikitesto]

Due condensatori si dicono in parallelo (figura 3.14 A) quando hanno ai capi la stessa differenza di potenziale. Posta una carica sul filo equipotenziale A, questa carica si dividerà in due cariche e sulle due armature dei condensatori, che inducono rispettivamente le cariche e sulle armature opposte. Chiamata , abbiamo la seguente relazione:

Fig. 3.14 A e B: Schematizzazione dei condensatori in parallelo e in serie

Poiché la differenza di potenziale ai capi dei condensatori è la stessa, ovvero , otteniamo che , ovvero che i condensatori in parallelo corrispondono a un unico condensatore con capacità pari alla somma delle capacità dei singoli condensatori.

Se invecee li poniamo in serie (figura 3.14 B), ponendo una carica sul filo A, questa si deposita sull'armatura del primo condensatore, che induce quindi una carica sull'opposta; ma il sistema centrato in E è un conduttore globalmente neutro formato da due armature dei due condensatori, quindi si deposita una carica sulla prima armatura del secondo condensatore che induce a sua volta una carica sull'armatura opposta. Quindi i condensatori in serie hanno ai capi diverse differenze di potenziale ma hanno la stessa carica sulle armature. Abbiamo che:

Ovvero i condensatori in serie corrispondono a un unico condensatore avente il reciproco della capacità uguale alla somma dei reciproci delle singole capacità dei singoli condensatori.

Capacità del condensatore cilindrico[modifica | modifica wikitesto]

Andiamo ora a calcolare le capacità dei tre condensatori. Chiamiamo il raggio del cilindro interno e quello del cilindro esterno, entrambi alti . Supponiamo ci sia induzione totale, e di avere una carica sul cilindro interno, che induce una carica sulla superficie interna del guscio; la superficie esterna è collegata a terra, a potenziale nullo. Data , la capacità del condensatore sarà

Applichiamo il teorema di Gauss per poter calcolare il campo elettrico, che sarà radiale per geometria cilindrica, del tipo ; presa come superficie gaussiana un cilindro tra quello interno e il guscio esterno, il flusso sarà quindi del tipo:

Da cui otteniamo il campo elettrico

Calcoliamo come integrale del campo su un percorso radiale:

Da questa ricaviamo la capacità del condensatore:

Nella realtà, però, si tende a porre minima la distanza tra i due cilindri, quindi , con ; con questa approssimazione, possiamo scrivere:

Andando a sostituire questa approssimazione nella capacità, ricordando che la superficie del cilindro è , otteniamo:

Capacità del condensatore piano[modifica | modifica wikitesto]

Il campo all'interno del condensatore è noto e vale ; posta una carica su una delle due armature, questa induce una carica su quella opposta; poniamo sempre e non resta che calcolare la differenza di potenziale (preso un percorso normale alle due armature):

Dove è la distanza tra le armature. Otteniamo quindi la capacità:

Capacità del condensatore sferico[modifica | modifica wikitesto]

Nella prossima sezione risolveremo diversi esercizi sul condensatore sferico, dove calcoleremo esplicitamente la differenza di potenziale tra le due sfere, che useremo qui. Posto sempre che ci sia induzione totale e che la superficie esterna sia collegata a Terra con potenziale nullo, abbiamo una carica all'interno che induce una carica sulla superficie interna del condensatore. La differenza di potenziale è:

Da cui otteniamo la capacità:

Come nel caso cilindrico, nella realtà si tende a rendere piccolissima la distanza tra le sfere, ovvero con ; con questo accorgimento, la capacità del condensatore sferico è (ricordando che la superficie sferica è ):

Ovvero tutti e tre i tipi di condensatori hanno la stessa capacità. Un risultato interessante, no?

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