Azioni meccaniche tra conduttori

Se abbiamo più conduttori carichi nello spazio, questi si autoinducono tra loro, ovvero esercitano delle forze tra di loro, ovviamente delle forze elettriche. Nel caso del condensatore piano, inoltre, abbiamo visto anche che la densità di energia elettrica è uguale alla pressione elettrostatica; se osserviamo anche che il campo elettrico sulla superficie di un conduttore vale , allora ritroviamo che la pressione elettrostatica è uguale alla densità di energia elettrica. Questo, ovviamente, non è un caso.

Nella sezione 3.4 avevamo dato una spiegazione dell'espressione della pressione, un po' articolata, usando una costruzione geometrica poco consona. Se qualcuno aveva storto il naso, non aveva torto: quella non il modo migliore, ne il più appropriato, per poter "dimostrare" che la pressione elettrostatica dipende da .

Fig. 3.20: L'espansione virtuale di un conduttore.

Allora, muoviamoci con l'energia. Compiamo un'espansione virtuale del nostro conduttore (figura 3.20): l'infinitesimo di superficie si espande di un , "formando" un volumetto . L'espansione è virtuale: la forza agente esterna è tale da bilanciare istante per istante le forze totali agenti sul conduttore; poiché stiamo considerano che ci sono solo forze elettriche, avremo che ; la trasformazione è adiabatica, non c'è variazione cinetica e tutto è ideale nel magico mondo della nostra immaginazione.

Abbiamo la classica relazione , ma anche, per il principio dei lavori virtuali, , da cui otteniamo la relazione fondamentale da qui a venire:

Ovviamente, la nostra forza è di tipo elettrico. La variazione di energia potenziale è ovviamente l'energia finale meno quella iniziale rispetto alla nostra trasformazione, ovvero l'energia potenziale prima dell'espansione e dopo l'espansione, ; possiamo esprimere queste:

Giustifichiamo quanto abbiamo appena scritto. Nel caso dell'energia iniziale, il campo elettrico, come abbiamo detto all'inizio, è quello immediatamente esterno alla superficie ; in quella finale, invece, il campo elettrico è nullo perché è interno al conduttore, e il campo in un conduttore è sempre nullo. Quindi, abbiamo che . Allora, la forza che risente il conduttore lungo la direzione sarà:

Da questa otteniamo immediatamente la pressione elettrostatica che risente l'elemento di superficie :

Quindi, in realtà, la pressione elettrostatica è uguale all'energia potenziale del sistema, cioè è uguale alla forza per unità di superficie che compirebbe lavoro spostando la superficie, facendola uscire dal conduttore.

Esempio (3.10)

Calcoliamo la forza che risentono le armature del condensatore. Queste, infatti, tendono ad avvicinarsi in quanto sono di carica opposta. Il campo elettrico è sempre lo stesso:

Stavolta, avremo che , perché, se trasliamo un'armatura verso l'esterno, il volume è interno al condensatore alla fine dell'espansione, mentre all'inizio è esterno, e all'esterno delle armature il campo è nullo. Quindi avremo:

Da questa ricaviamo la forza che percepiscono le armature del condensatore:

Il segno meno sta a indicare che la forza è attrattiva, esattamente come ci aspettavamo che fosse.

 

Nell'esempio appena risolto, avremmo anche potuto utilizzare l'espressione dell'energia che abbiamo ricavato in tre modi diversi , supponendo che , e ottenere lo stesso risultato. Tuttavia, se avessimo utilizzato l'espressione equivalente , avremmo ottenuto un risultato completamente diverso:

Cioè avremmo ottenuto che la forza è repulsiva. Non proprio ciò che si rileva sperimentalmente. Il problema sta nell'assumere che : spostando le armature del condensatore ne variamo la capacità, ma, se la differenza di potenziale è costante, allora la carica deve variare in modo da rendere . Quindi ci troviamo in una situazione diversa da come l'abbiamo ipotizzata.

In parole povere, se la tensione ai capi del condensatore è costante, vuol dire che abbiamo posto il condensatore in un circuito con un generatore di tensione, quindi il sistema non è più isolato; come abbiamo detto, variando la capacità, anche la carica varia: in particolare, le cariche si spostano dall'armatura positiva a quella negativa (attenzione: non passano tra le armature del condensatore, passano nel circuito, cioè "fanno il giro largo") attraversando il generatore di tensione che, di conseguenza, compie lavoro negativo.

Il lavoro compiuto dal generatore è quello di portare cariche positive (per convenzione) dal potenziale più basso al più alto, mentre queste tendono, se lasciate libere, a spostarsi verso il potenziale più basso. Le cariche che si spostano, nel nostro caso, sono ovviamente degli elettroni, che vanno ad attraversare il generatore nel verso naturale di movimento, ovvero salendo di potenziale. In questo modo, il generatore si affranca di spostare quelle cariche, compiendo, per l'appunto, lavoro negativo (in parole povere, facciamo in modo che il generatore faccia meno lavoro di quanto dovrebbe fare realmente). È proprio questo lavoro che fa la differenza: nel bilancio energetico, quando andiamo a calcolare l'energia potenziale, dobbiamo considerare anche questo contributo. (Il lavoro di un generatore ideale di tensione è ). Quindi abbiamo che l'energia potenziale è , dove è l'energia del generatore. Compiendo lo spostamento virtuale come nell'esempio 3.10, abbiamo che , in quanto mantenuta dal generatore di tensione. Le due energie valgono:

Il segno negativo nell'energia del generatore è dovuto alla carica, che è negativa. Da queste relazioni otteniamo che , quindi la forza che risentono le armature è:

Ancora una volta, positiva, anche se noi sappiamo che la forza tra le armature del condensatore è sempre attrattiva. Ci troviamo quindi di fronte a due casi diversi di problemi, che vanno quindi distinti:

  • se il condensatore è isolato, a , l'energia del condensatore è negativa;
  • se il condensatore è in un circuito, a , l'energia del condensatore è positiva.

Così facendo, otterremo in entrambi casi il risultato giusto, cioè una forza attrattiva tra le armature del condensatore.

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