Problemi di elettrostatica

In questa sezione tratteremo un po' di problemi noti di elettrostatica, risolvendo qualche integrale di campo elettrico.

Esempio (2.1 Elettroscopio a foglie)

Il primo esempio che andiamo a risolvere è l'elettroscopio a foglie; come abbiamo detto quando abbiamo definito la carica, l'elettroscopio a foglie permette di calcolare la carica di un corpo sfruttando l'equilibrio meccanico tra forza peso e forza elettrica. In particolare, affinché sia valido l'equilibrio la risultante delle forze deve essere nulla e la somma vettoriale dei momenti anche. Schematizziamo l'elettroscopio come un doppio pendolo ideale, dove la massa e la carica delle foglie si concentra in un punto materiale posto all'estremità della foglia stessa, e la foglia viene tratta come un filo inestensibile di massa trascurabile. Supponiamo di conoscere l'angolo che una foglia forma con la verticale , la lunghezza del pendolo e la massa del punto materiale carico . Vogliamo ricavarci la forza.

Fig. 2.3: schematizzazione dell'elettroscopio a foglie.

Partiamo col determinare l'espressione della forza elettrica. Poiché le cariche sono ferme, esse si troveranno a una distanza , quindi la forza che le respinge avrà intensità (ricordiamo che la carica delle foglie è uguale sia in segno che in modulo):

Scelto come polo il vertice del pendolo, si può determinare l'equilibrio semplicemente calcolando la somma dei momenti, così da ignorare la forza vincolare del filo:

Il segno non è noto, per cui la carica può essere sia negativa.

 
Esempio (2.2 Stima di forze di rottura)

La forza elettrica può essere utilizzata anche per stime approssimative di eventuali forze ignote. Ad esempio, vogliamo stimare quale forza occorre per spezzare una sbarra solida di spessore . Facendo alcune ipotesi, possiamo stimarlo con una buona precisione.

Innanzitutto, consideriamo che la nostra sbarra è composta da soli atomi di idrogeno, che hanno raggio atomico pari a un armstrong, ovvero . Poi, ipotizziamo che il corpo non abbia una risposta elastica e che l'unico modo per spezzarlo sia ionizzare completamente i singoli atomi, ovvero spezzare la forza elettrica che tiene l'elettrone stabile attorno al nucleo e allontanare lo stesso elettrone. Procediamo col calcolarci il numero di atomi presenti in una sezione: basterà dividere la sezione dell'oggetto per l'area occupata dall'atomo, data da ; senza tener conto dei valori numerici, stimiamo solo l'ordine di grandezza:

Questo valore va moltiplicato per la forza necessaria a ionizzare ogni singolo atomo:

Il risultato non è lontano dalla realtà: al seconda del materiale, la forza necessaria sarà più o meno forte, ma l'ordine di grandezza si aggira attorno a o .

 

Iniziamo a calcolare un po' di integrali nel vero senso della parola. Partiamo con le cose semplici, ovvero integrali su distribuzioni continue di cariche infinite.

Esempio (2.3 Filo infinito di carica)

Vogliamo calcolare il campo elettrico generato da un filo infinito di carica con densità di carica lineare costante. Varrà per questo . Per comodità, poniamo il nostro filo sull'asse e studiamo il campo nel piano (fare riferimento alla figura 2.4). Possiamo infatti osservare che il problema ha una simmetria cilindrica, ovvero il campo sull'asse è in modulo uguale a tutti i campi su piani passanti per l'asse e avranno come direzione una direzione radiale rispetto a questo.

Fig. 2.4: schematizzazione del filo infinito di carica.

Inoltre, la direzione del campo è proprio perpendicolare al filo. Infatti, preso un punto sull'asse , per ogni infinitesimo di filo carico nel semiasse positivo delle esiste un altro infinitesimo, nel semiasse negativo, il cui campo elettrico è uguale in modulo, ma con la componente contraria, quindi la direzione totale del campo sarà solo lungo la direzione . Il punto in cui vogliamo calcolare il campo si trova a distanza dal filo, mentre l'infinitesimo si trova nel punto ; possiamo allora indicare . Il vettore che indica la carica sorgente sarà , mentre quello che indica il punto in cui si trova la carica di prova è . Fatte le considerazioni simmetriche, il campo elettrico avrà quindi componenti .

Il campo elettrico vale, per definizione:

Come detto, dobbiamo calcolare solo la componente lungo , ovvero:

Chiamiamo con , da questo segue che e ; si ha quindi che e perciò . Inoltre . Con questo cambio di variabili, quindi, il nostro integrale dipende dalla variabile , che è l'angolo formato dal vettore distanza tra la carica di prova e il filo con l'asse . Questo angolo, poiché il filo è infinito, ha valori compresi nell'intervallo . Con queste precisazioni, il nostro integrale diventa:

Tornando al discorso della simmetria, possiamo infine scrivere il campo elettrico in forma vettoriale come:

Ovvero decresce col crescere della distanza secondo un andamento e la direzione è radiale perpendicolare al filo. Il fatto che questo decresca come non deve sorprendere: il filo è infinito, quindi il campo elettrico è ben diverso da quello generato da una carica puntiforme, per la precisione più "potente", come abbiamo appena calcolato.

 

Ripetendo il calcolo dell'integrale per un filo infinito, si può calcolare il campo elettrico generato da un piano infinito con densità di carica superficiale costante. La soluzione è molto particolare: il campo elettrico è ovunque perpendicolare al piano, come ci si aspetta da immediate considerazioni geometriche, ma risulta essere costante in ogni punto dello spazio, ovvero indipendente dalla distanza a cui si trova il punto in cui lo si calcola. L'espressione numerica di questo campo è , dove con indichiamo la normale al piano; per calcolarlo sfrutteremo il teorema di Gauss, tra qualche sezione.

Questo caso particolare ha conseguenze interessanti. Presi due piani infiniti affiancati, entrambi con densità superficiale di carica costante ma di segno opposto, ovvero uno avrà e l'altro , il campo elettrico prodotto nello spazio si annulla esternamente ai piani, mentre nella porzione di spazio compresa tra i due assumerà valore e sarà diretto dal piano positivo a quello negativo. Questo è il concetto che sta alla base dei condensatori, che sono lastre piane cariche posti a distanze molto piccole tra loro: le lastre non sono infinite, ma le loro dimensioni sono molto più grandi della distanza che le separa, tale da far sì che, con buona approssimazione, il campo al loro interno sia proprio .

Esempio (2.4 Anello carico uniformemente)

Torniamo a calcolare integrali, stavolta vediamo l'espressione del campo elettrico generato da un anello carico con densità lineare di carica costante pari a . Prima di iniziare, ricordiamo che l'anello è considerato un filo avvolto su se stesso, che ha dimensioni di spessore e profondità nulle rispetto alla sua lunghezza.

Ci limiteremo a calcolare cosa avviene lungo l'asse di simmetria ortogonale dell'anello, passante per il centro; posizioniamo l'anello di raggio e carica sul piano con centro nell'origine e prendiamo un punto sull'asse . Un generico punto su questo asse disterà da un qualsiasi infinitesimo di anello, dove ; inoltre, come nel caso del filo, le componenti lungo gli altri assi che non siano l'asse si annullano per la perfetta simmetria cilindrica del modello. Applichiamo la definizione di campo elettrico:

Il vettore che congiunge all'infinitesimo di anello forma con l'asse un angolo , per il quale vale la relazione . La componente lungo l'asse vale quindi:

Integrando su tutta la carica presente nell'anello otteniamo:

Dove la distanza dal centro dell'anello è presa in modulo.

 
Esempio (2.5 Filo finito di carica)

Passiamo ora a calcolare il campo elettrico generato da un filo carico, anch'esso con densità lineare di carica costante. Come nel caso del filo infinito, è presente una simmetria cilindrica che ci permette di ridurre lo studio a un modello planare. Posizionato il nostro filo lungo sull'asse centrato nell'origine, così' che il filo occupa l'intervallo sull'asse, vogliamo calcolare il campo elettrico generato in un qualsiasi punto del piano , punto che non si trovi però sull'asse : in questo caso, per la simmetria del sistema, il campo elettrico sarebbe diretto ortogonalmente al filo fino all'infinito. Fare riferimento alla figura 2.5 per la schematizzazione.

Fig. 2.5: schematizzazione del filo finito di carica.

Indichiamo con la posizione dell'infinitesimo di filo , mentre con la posizione del punto generico nel piano.

A differenza del caso di filo infinito, stavolta la componente parallela al filo non sarà sempre nulla, ma avrà una sua intensità, quindi dovremo calcolarle entrambe. Partiamo dalla componente lungo .

Chiamato , abbiamo che ; posto inoltre , vale . Con questo cambio di variabili il nostro integrale diventa:

Andando quindi a sostituire gli estremi di integrazione, otteniamo il campo lungo :

Calcoliamo adesso la componente :

Applichiamo come primo cambio di variabili lo stesso di prima, ovvero , ; poi, chiamiamo , da cui segue ; il resto sono calcoli e sostituzioni:

Non resta che risolvere l'ultimo integrale in forma semplice e ottenere il risultato:

Il modulo del vettore campo elettrico sarà ; poiché la simmetria è cilindrica, basterà ruotare di nello spazio il vettore appena ottenuto per ottenere il generale campo elettrico. Vediamo cosa accade se prendo dei punti posti sugli assi, per verificare che abbiano senso i risultati.

Se prendiamo un punto dell'asse , descritto dalla forma , abbiamo che la componente si annulla sempre, come ci aspettavamo all'inizio, mentre la componente lungo vale ; il numeratore corrisponde alla carica totale del filo. Al contrario, sull'asse vale ; quindi sarà la componente ortogonale sempre nulla, mentre la componente parallela sarà . I risultati hanno senso, finché i punti non siano presi sul filo: come vedremo a breve, in quel caso accadono cose particolari.

 
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