La terza equazione di Maxwell e il potenziale elettrostatico

Abbiamo visto come la divergenza del campo elettrico sia costante in tutto lo spazio, vediamo ora di determinare il rotore del campo elettrico, che ci fornisce la terza equazione di Maxwell nel caso statico (la seconda, che abbiamo apparentemente saltato, è la divergenza del campo magnetico).

Calcolo del rotore[modifica | modifica wikitesto]

Senza perderci in troppi preamboli, procediamo direttamente col calcolo diretto, ricordando l'espressione del campo elettrico:

Nel capitolo 1, parlando degli operatori differenziali, abbiamo visto come il campo fosse in realtà il gradiente di un altro campo, in particolare ; quindi possiamo riscrivere il campo elettrico come:

Di questo dobbiamo calcolare il rotore; valgono le stesse considerazioni fatte per il calcolo della divergenza: le costanti escono fuori dall'operazione di rotore e possiamo invertire rotore e integrale perché agiscono su variabili diverse. Otteniamo che il rotore del campo elettrico, a meno di costanti moltiplicative, è del tipo , ovvero:

Abbiamo ottenuto la terza equazione di Maxwell nel caso statico; a differenza della prima, questa cambia nel caso dinamico.Da questa, possiamo quindi dire che il campo elettrico è un campo irrotazionale, oppure conservativo. I campi conservativi hanno la bellissima proprietà di poter essere scritti come il gradiente di un altro campo scalare, che viene chiamato potenziale. Nel caso del campo elettrico, questa funzione viene chiamata potenziale elettrostatico. Ci sono vari modi di esprimere il potenziale, ne mostriamo un paio. Prima di procedere, specifichiamo una convenzione: il campo elettrico può sì essere scritto come gradiente di un potenziale, in particolare , ma per convenzione storica si usa scriverlo come , perché risulta più facile ricavare l'espressione del potenziale.

Calcolo del potenziale[modifica | modifica wikitesto]

Abbiamo detto che possiamo scrivere ; per poter ricavare , applichiamo il teorema di Stokes:

Poiché risulta essere , ne otteniamo che il lavoro del campo elettrico lungo qualsiasi curva chiusa è nullo; sostituendo :

Dove abbiamo applicato il teorema fondamentale del calcolo nel secondo passaggio. Allora, per poter calcolare il potenziale basta calcolare il lavoro fatto dal campo elettrico lungo una qualsiasi curva: questo sarà indipendente dal percorso ma dipenderà solo dai punti iniziale e finale (definizione di campo conservativo). Quindi:

In realtà, osservando che , l'espressione del potenziale ci viene data gratuitamente:

L'integrale di Feynman[modifica | modifica wikitesto]

Il secondo procedimento che mostriamo è un abile trucchetto pensato dal fisico Richard Feynman; questo procedimento, oltre a dimostrare che il campo elettrico è conservativo, permette di calcolare abilmente il potenziale elettrico e, inoltre, può essere anche visto come una definizione di calcolo integrale.

Partiamo dall'inizio. Poiché il campo elettrico rispetta il principio di sovrapposizione, basta calcolare il lavoro fatto dal campo generato da una sola carica elettrica per ottenere un risultato di interesse globale. Prendiamo quindi una carica positiva nell'origine che genera un campo elettrico radiale, e calcoliamo il lavoro del campo elettrico lungo una direzione radiale:

Un risultato interessante, per quanto totalmente inutile da solo. Allora riproviamo a calcolare il lavoro, stavolta però cambiamo curva e ci muoviamo su un arco di circonferenza centrata nell'origine (dove si trova la nostra carica sorgente). Allora avremo:

Ma, se ci muoviamo su una circonferenza, il vettore tangente alla circonferenza è sempre ortogonale al raggio, e quindi questo integrale da come risultato . Adesso iniziamo a capire un po' meglio come stanno le cose.

Fig. 2.8; rozza approssimazione di un percorso qualunque sfruttando tratti radiali o di circonferenze.

Prendiamo allora una curva generica che vada da a e intersechiamola con dei raggi che partono dall'origine, distaccati da un angolo . Con l'aiuto di questi raggi, approssimiamo la nostra curva con dei tratti che siano o radiali, o archi di circonferenza: sui primi il lavoro avrà un determinato lavoro, sui secondi sarà sempre nullo. L'approssimazione, per , è pressoché perfetta, e quindi il lavoro sulla curva sarà la somma dei singoli contributi radiali, che tuttavia hanno la caratteristica di essere una serie telescopica: a meno di costanti, infatti, il lavoro totale sarà:

Cosa possiamo concludere? Concludiamo che il campo elettrico è conservativo, perché il lavoro su un generica curva dipende solo dagli estremi; concludiamo che quindi è irrotazionale, e allora possiamo scriverlo come il gradiente di un altro campo che, per comodità, scriveremo come .

Considerazioni sul potenziale elettrico[modifica | modifica wikitesto]

Certo, è interessante tutto questo discorso, ma se abbiamo il campo elettrico, perché interessarci anche al potenziale?

La realtà è che raramente abbiamo il campo elettrico, anzi, a parte rari casi di simmetria, questo non possiamo calcolarlo utilizzando la definizione. Il potenziale elettrostatico, invecee, è un campo scalare, e risulta nettamente più facile calcolare il potenziale rispetto al campo elettrico. Una volta ottenuta l'espressione del potenziale, possiamo facilmente passare al campo elettrico ricordando che .

Questo procedimento ha solo una "falla": le costanti. Derivando una costante, otteniamo , quindi il potenziale elettrico è ben definito a meno di una costante, che va posta a discrezione propria di chi risolve il problema. Generalmente, si usa porre il potenziale all'infinito nullo, ovvero , e poi calcolarsi il potenziale come:

Il potenziale va calcolato come il lavoro del campo elettrico dal punto in cui vogliamo calcolarlo () al riferimento che abbiamo imposto al sistema. Se quindi abbiamo posto , l'integrale andrà dal punto dove vogliamo calcolare il potenziale all'infinito.

La scelta dell'infinito è abbastanza buona, a parte quando abbiamo a che fare con distribuzioni infinite. In quel caso il potenziale all'infinito non è nullo, bensì , quindi bisogna porre un punto al finito come potenziale di riferimento. A seconda dei casi, conviene porlo sull'origine, o su un punto particolare (come la superficie della distribuzione, per esempio). In ogni caso, la scelta del punto di riferimento è ininfluente al nostro studio: ciò che ci interessa davvero sono le differenze di potenziale, non il potenziale in se.

Unità di misura[modifica | modifica wikitesto]

Terminiamo il discorso parlando di unità di misura. Osserviamo che:

Ovvero, il potenziale è un'energia diviso una carica:

Per questo motivo, il campo elettrico si può anche scrivere in unità diverse:

Lavoro della forza elettrica[modifica | modifica wikitesto]

Nel calcolare il lavoro del campo elettrico, non abbiamo calcolato un vero e proprio lavoro in senso fisico, ma più in senso matematico (definito come l'integrale di linea di un generico campo vettoriale). Il lavoro inteso in senso fisico è sì l'integrale di linea, ma il campo deve essere una forza. Nel caso della forza elettrica, alla luce di tutto quello che abbiamo detto finora, sappiamo che, essendo il campo elettrico conservativo, anche la forza elettrica è una forza conservativa, il che non sorprende se ricordiamo che vale . Quindi possiamo calcolare il lavoro della forza elettrica come differenza di energia potenziale:

Vale quindi . Per dare una formulazione generale dell'energia potenziale elettrica, con sorgente una carica puntiforme , potremmo scrivere:

Per la quale vale lo stesso discorso fatto per il potenziale, ovvero che all'infinito l'energia potenziale risulta nulla . Inoltre, ricordiamo che, parlando di potenziali e energie potenziali, troviamo interesse non nell'espressione formale di questi ma nella loro differenza, corrispondente al lavoro compiuto dalla forza elettrica.

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