Il teorema di Gauss per il campo elettrico

Come detto nel primo capitolo, se di un campo sono noti divergenza e rotore allora, in virtù del teoerema di Helmholtz, siamo in grado di poter calcolare esplicitamente il campo; per dirla in parole semplici, se conosciamo divergenza e rotore conosciamo tutto ciò che c'è da sapere sul campo stesso. Per questo ora procederemo a calcolare la divergenza del campo elettrico, nel caso statico, in due modi diversi.

Calcolo diretto della divergenza[modifica | modifica wikitesto]

Possiamo procedere direttamente col calcolo; conoscendo l'espressione del campo elettrico, e sapendo che vale il principio di sovrapposizione, possiamo calcolare la divergenza per un campo elettrico generato da una carica puntiforme, e poi procedere per somma. Il primo passaggio del calcolo è banale: la costante viene fuori dal segno di divergenza.

Adesso osserviamo che l'operatore divergenza agisce sulle variabili , mentre l'integrale è calcolato sulle variabili ; poiché i due operatori agiscono su diverse variabili, è possibile invertirne l'ordine in quanto non influenza poi il risultato finale; essendo indipendente dalle variabili , anche questo può uscire fuori dal segno di divergenza:

Poiché , abbiamo già calcolato la divergenza di questo campo nel primo capitolo, osservando come potesse essere scritta in funzione della delta di Dirac. Ne otteniamo infine la divergenza del campo elettrico in caso stazionario, nota anche come prima equazione di Maxwell:

Il teorema di Gauss[modifica | modifica wikitesto]

Un altro modo di calcolare la divergenza del campo elettrico, senza scomodare la delta di Dirac, è quello di sfruttare il teorema di Gauss per i campi vettoriali. Per essere precisi, non ci riferiamo al teorema della divergenza, noto anche come teorema di Gauss-Green; d'ora in avanti, per distinguere i due teoremi, ci riferiremo a quello che andremo ora a dimostrare come al teorema di Gauss, mentre l'altro sarà, per noi, teorema della divergenza.

Il teorema di Gauss vale per qualsiasi campo vettoriale che rispetti le seguenti proprietà:

  1. è un campo radiale, scrivibile come ;
  2. all'infinito va come ;
  3. soddisfa il principio di sovrapposizione.

Un piccola precisazione: queste proprietà devono essere valide nel caso in cui il campo sia generato da una sorgente puntiforme: abbiamo visto come il campo elettrico vari da distribuzione a distribuzione, quindi è necessario precisare questo particolare. Inoltre, per come stanno le cose, possiamo concludere che anche per il campo gravitazionale vale il teorema di Gauss ( e infatti esiste il teorema di Gauss per il campo gravitazionale che è esattamente identico a quello del campo elettrico, solo che cambiano il nome e il campo).

In breve, il teorema di Gauss afferma che, presa una qualsiasi superficie chiusa con versore normale uscente, il flusso del campo attraverso questa superficie chiusa vale:

Dove con intendiamo la carica totale interna alla superficie. Se una parte di carica dovesse trovarsi fuori dalla superficie, allora questa non influenzerebbe il flusso del campo.

Per poter dimostrare questo teorema ci sono diversi modi: uno è il calcolo esplicito, in modo classico, mentre il secondo consiste nel fare osservazioni di simmetria e giungere alla conclusione senza neanche esagerare con i calcoli. Partiremo da questo.

Osservazioni di simmetria: il flusso di E[modifica | modifica wikitesto]

Metaforicamente, potremmo definire il flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie come la quantità di linee di forza del campo che passano attraverso la superficie; questa "definizione" fa un po' schifo sotto molti punti di vista, ma se specifichiamo bene:

  1. l'intensità del campo è proporzionale alla densità di linee di forza, e decidiamo univocamente un rapporto di proporzionalità;
  2. il flusso è positivo se il prodotto scalare del vettore campo con la normale (per come l'abbiamo scelta) è positivo, altrimenti è negativo.

allora, in questo caso, possiamo dire che questa "definizione" è, in buona approssimazione, corretta. Ricordiamo a questo punto che, per una superficie chiusa, la normale positiva è uscente dalla superficie; da qui ne ricaviamo che il flusso sarà positivo se le linee di campo escono dalla superficie, mentre sarà negativo se entrano.

Fig. 2.6: superficie radiale con linea di campo elettrico

Prendiamo allora una carica positiva (che genera linee di campo uscenti) e posizioniamo una superficie poco lontano da questa, che non la contenga, che abbia forma radiale. Inoltre costruiamo la nostra superficie in modo che che cresca come , ovvero più si allontana dalla carica, più è ampia la faccia della superficie. A questo punto, osserviamo che il campo elettrico attraversa la superficie prima in un verso, negativo, poi in quello positivo. Inoltre il campo elettrico decresce come , mentre la superficie cresce come . Ne concludiamo che il flusso totale attraverso questa superficie chiusa è nullo (fare riferimento alla figura 2.6).

Se prendessimo una superficie generica? Basta ragionare in termini di infinitesimi. Suddividendo le facce della superficie non parallele al campo (in quel caso il vettore normale e il vettore campo elettrico sarebbero perpendicolari, e il loro prodotto scalare nullo) in infinitesimi di superficie, possiamo notare che, per ogni infinitesimo attraversato in verso negativo, ce n'è un altro attraversato in verso positivo di area tale da annullare il contributo del primo. Ne concludiamo allora che il flusso del campo elettrico attraverso qualsiasi superficie chiusa non contenente cariche elettriche è nullo.

Allora, prendiamo una superficie che contenga una carica. In questo caso le linee di forza del campo elettrico attraverseranno la superficie tutte in verso positivo, quindi a prescindere dal risultato sappiamo con certezza che il flusso sarà positivo. Ma che valore avrà? Per risolvere questo problema, basta applicare un trucchetto abbastanza carino: circondiamo la carica con una superficie contenuta in quella grande, di forma sferica. Lo spazio tra e non contiene cariche, quindi il flusso attraverso questo volume è nullo (le linee di campo entranti sono uguali in intensità a quelle uscenti), ma il flusso attraverso la superficie è positivo, così come quello attraverso la superficie . Ne deduciamo che i due flussi sono uguali: infatti, il flusso del volume tra e corrisponde alla sottrazione dei due, poiché in viene percorso negativamente. Poiché è una sfera di raggio , avrà superficie sempre ortogonale al campo, . Poiché la carica corrisponde a tutta la carica interna alla superficie, poiché il campo elettrico rispetta il principio di sovrapposizione, il flusso è quindi pari a:

Se infatti sono presenti più cariche interne, i loro campi elettrici si sommano e il flusso quindi assume sempre questa forma. Per cariche esterne si ha contributo al flusso sempre nullo.

Il calcolo classico del flusso[modifica | modifica wikitesto]

La dimostrazione classica del teorema di Gauss procede per il calcolo classico; concettualmente è forse anche più semplice, ma la potenza del discorso appena terminato è che può essere facilmente compreso anche senza il concetto di flusso di campo, che deriva dall'analisi.

Prendiamo una superficie e una carica positiva al suo interno. Il flusso attraverso un qualsiasi infinitesimo di superficie vale:

Sappiamo che , dove è l'angolo compreso tra i due versori:

Osserviamo che è la proiezione di sulla sfera di raggio centrata in , che scriviamo come . Inoltre, il rapporto corrisponde alla definizione di angolo solido, che indiciamo con . Otteniamo quindi il flusso infinitesimo:

Per avere il flusso totale, bisogna integrare su tutta la superficie; ma integrare su tutta una superficie chiusa un angolo solido significa fare un giro completo di angolo solido, ovvero . Otteniamo il flusso di campo elettrico attraverso qualsiasi superficie chiusa:

Nel caso di distribuzioni continue, caratterizzate da una densità , per avere la carica interna bisogna integrare su tutto il volume, ottenendo esattamente

La prima equazione di Maxwell[modifica | modifica wikitesto]

A questo punto, dopo aver calcolato il flusso in due modi diversi ed esserci convinti che vale proprio , applichiamo il teorema della divergenza:

Ricordando che vale , andando a sostituire:

Da cui otteniamo la prima equazione di Maxwell, valida sia in caso statico che dinamico:

La dimostrazione per il caso statico l'abbiamo appena vista; nel caso dinamico, con il campo elettrico che varia nel tempo continua a valere.

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