Il campo elettrico

Se il problema dell'elettrostatica è quello di risolvere il moto di una carica interagente con altre cariche nello spazio, possiamo dire di averlo risolto nella scorsa sezione. Tuttavia, l'interazione tra le cariche dipende linearmente da entrambe le cariche: se variamo il valore della carica di test, varierà anche la forza che questa risente. La dipendenza dalla carica di prova non ci piace, è scomoda: se la distribuzione di cariche è ferma nello spazio, descrivere l'interazione generata da queste cariche utilizzando la forza di Coulomb è davvero scomodo, perché la forza varierà proprio a seconda della carica di prova. Ma la distribuzione è ferma, sta lì, e quindi avremo una descrizione delle interazioni nello spazio completamente arbitraria.

Per questo motivo ci spingiamo a studiare non l'interazione tra due cariche, bensì la perturbazione che una distribuzione di cariche genera nello spazio. Se volessimo essere veloci, diremmo che il campo elettrico è la forza elettrica per unità di carica: questa è la sua definizione e non staremmo affermando nulla di errato. Tuttavia sfido a capire bene cosa indica il campo elettrico a partire da questa affermazione.

Consideriamo una distribuzione di cariche discreta posta in punti fissi dello spazio. Presa una carica di prova, questa risentirà di una forza elettrica pari alla somma vettoriale delle forze elettriche generate dalle singole cariche, e la forza è funzione della posizione nello spazio: spostando la carica test, varierà anche la forza che questa risente. Immaginate di avere una distribuzione, ad esempio, simmetrica rispetto al piano , dove nel semiasse positivo delle ci sono cariche positive, mentre nel semiasse negativo ci sono cariche negative. Presa la nostra carica di test positiva, è ovvio che questa risentirà di una forza nettamente diversa se la posizioniamo nel semiasse positivo o in quello negativo: da una parte verrà respinta dal grande numero di cariche positive, che si trovano più vicine, mentre dall'altra parte sono le cariche negative a trovarsi più vicine, e quindi la carica test tenderà ad avvicinarsi ad esse. Tutto ciò avviene indipendentemente dal valore della carica: se è grande o piccola, non interessa, la cosa fondamentale è che sia positiva. Certo, se la prendessimo negativa essa subirebbe l'effetto contrario, ma lo studio è praticamente identico.

Allora possiamo dire che una distribuzione di cariche nello spazio perturba lo spazio, ovvero genera un campo di forza su altre cariche che sono poi presenti nello spazio. Un modo semplice per intuire ciò che avviene è rappresentare attraverso linee di campo la perturbazione, tuttavia dobbiamo prima decidere come prendere la nostra carica test; per convenzione, la carica test si considera positiva, e quindi le linee di interazione si riferiscono a una carica positiva: sarà respinta radialmente dalle cariche positive e sarà attratta radialmente da quelle negative, e la direzione è indipendente da quale valore assume. Quindi la nostra distribuzione ferma nello spazio perturba davvero lo spazio, creando un campo vettoriale che attrae o respinge altre cariche. Una rappresentazione delle linee di campo è fornita dall'immagine.

Fig. 2.2: Linee di campo elettrico

In tutto il discorso che abbiamo fatto c'è, ovviamente, da fare una precisazione. Una volta che noi inseriamo la carica test nello spazio per testare l'interazione di cui questa risente, anche la carica test perturberà lo spazio. Questo è inevitabile: è una carica, posta nello spazio perturba lo spazio, che lo si voglia o meno. Per poter dare un senso a quello che abbiamo detto finora, quindi, dobbiamo assumere che la carica test sia così piccola che il campo vettoriale generato dalla distribuzione non ne risenta in alcun modo, escluso il punto in cui viene messa la carica di test. Con questa precisazione possiamo rendere valido il nostro discorso.

Tornando alle formule vettoriali, abbiamo già detto che il campo elettrico, che indicheremo con è definito come forza elettrica per unità di carica, ovvero:

L'unità di misura del campo elettrico è, dalla definizione, , tuttavia spesso si tende a parlare di ovvero volt su metro. Non abbiamo ancora definito il volt e cosa esso indichi ma, poiché tutte le unità di misura dell'elettrodinamica sono derivate dell'ampere, non possiamo definirle bene prima di aver dato una corretta definizione di cosa sia l'ampere.

Dalla definizione, ricaviamo che la forza elettrica è pari a , quindi il campo elettrico descrive alla perfezione l'interazione tra cariche, poiché è indipendente dalla carica di prova. Se per la forza elettrica vale il principio di sovrapposizione, questo deve valere, per quanto abbiamo appena detto, anche per il campo elettrico; data quindi una distribuzione discreta di carica nello spazio, il campo elettrico totale, che è funzione della posizione, sarà dato dalla somma vettoriale dei campi generati dalle singole cariche.

Nella realtà, però, spesso si ha a che fare con distribuzioni continue di carica; queste sono indicate da un volume, una superficie o una curva carichi elettricamente, in cui la carica è descritta dalla funzione densità di carica, che può essere sia funzione della posizione, e quindi variare nello spazio, che uniforme, e quindi è costante in tutto il volume considerato. Utilizzeremo tra diversi simboli per indicare la densità di carica:

Queste sono legate ai volumi (rispettivamente lunghezza, superficie o volume) secondo le seguenti relazioni:

Ovvero, esattamente come la densità di massa, la densità di carica è definita come il rapporto tra l'unità di carica e l'unità di volume. Come abbiamo già accennato, quando parleremo di infinitesimi questi saranno matematicamente piccoli (così che avranno senso, per esempio, le approssimazioni con i polinomi di Taylor) ma abbastanza grandi da contenere tanta carica, così possiamo ignorare il fatto che essa è quantizzata.

Quando abbiamo a che fare con distribuzioni continue di cariche, il principio di sovrapposizione vale ancora, ma la sommatoria svanisce in un integrale, valido su tutto il volume considerato. Così facendo il campo elettrico diventa:

L'integrale è fatto sulle variabili primate, ovvero su , ed è calcolato su tutto il volume .

Questo integrale può descrivere anche distribuzioni discrete di carica: sfruttando la delta di Dirac centrata nei punti in cui si trovano le cariche discrete, otteniamo esattamente il campo elettrico nel caso di una distribuzione discreta.

Essendo un integrale di vettori, va risolto per componenti. Per esempio, la componente sarà:

Detto questo, ora possiamo davvero concludere che l'elettrostatica è conclusa. O meglio, se vogliamo poter definire e calcolare di quale interazione risente una carica messa in un punto dello spazio in cui è presente una distribuzione di cariche, la risposta è "basta risolvere questo integrale". Ovviamente, se la risposta è semplice, il calcolo è difficile (forse esiste un teorema che lo dimostra), e infatti questo tipo di integrali può essere davvero molto difficile da risolvere. Se non abbiamo un matematico o un computer al nostro servizio, può diventare faticoso risolvere il problema. Il resto dell'elettrostatica, quindi, non è altro che un lungo discorso su come evitare di calcolare questo integrale. Non per questo è inutile, anzi: tutto quello di cui parleremo d'ora in avanti riguarda proprio la risoluzione di problemi di elettrostatica.

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