Carica elettrica, interazioni tra cariche

L'elettrostatica studia il comportamento e le proprietà del campo elettrico in caso statico, quando le cariche generatrici sono in quiete. Partire dallo studio statico è il modo migliore, nonché il classico, di approcciarsi all'elettrodinamica: in caso stazionario sono rispettate eventuali simmetrie del problema e lo studio risulta essere nettamente più semplice che in caso dinamico. Una volta che avremo studiato elettrostatica e magnetostatica passeremo allo studio dinamico, facendo variare nel tempo i campi. Prima di parlare di forze e campi, ovviamente, bisogna dare una definizione operativa di carica.

Carica elettrica[modifica | modifica wikitesto]

La carica elettrica è una proprietà di tutti i corpi, presente in due stati (positivo e negativo) ed è una proprietà conservata nello spazio localmente e globalmente. Della carica elettrica sappiamo, dagli studi moderni, in particolare dall'esperimento di Millikan, che essa è quantizzata, ovvero esiste in multipli interi di una quantità costante chiamata carica elementare pari a:

Quindi una qualsiasi carica sarà pari a con intero naturale. Che la carica si trova in due stati è già stato detto, tuttavia non abbiamo specificato l'unità di misura. In effetti, il coulomb è l'unità di misura della carica elettrica nel sistema internazionale, tuttavia non è una grandezza fondamentale ma derivata dall'ampere. Non potendo ancora definire l'ampere, per il quale abbiamo bisogno del campo magnetico, lasciamo la definizione di coulomb ad un futuro poco lontano.

Nella trattazione classica dell'elettrodinamica si tratta la carica come una quantità continua. Questo è errato a livello concettuale ma, in buona approssimazione, possiamo considerarla tale. Infatti, preso un condensatore di capacità elettrica (microfarad, tutto questo discorso sarà ben chiaro in seguito, per ora è solo per chiarire la continuità della carica), sottoposto a una differenza di potenziale pari a (volt), otteniamo una carica pari a ovvero un numero spropositato di elettroni, nonostante la capacità fosse minuscola. Questo ci indica che, è vero che la carica è quantizzata, ma poiché la carica elementare è molto piccola e in un coulomb si trovano elettroni, possiamo considerarla una quantità continua. Per chiudere il discorso, quando considereremo gli infinitesimi di volume, superficie o linea, li prenderemo piccoli matematicamente ma abbastanza grandi da contenere una quantità di carica tale da poter ignorare che questa è quantizzata.

Come si carica un corpo? La soluzione classica e naturale è caricarlo per strofinio, ma anche per induzione. Il problema dello strofinio è che non funziona su tutti i corpi, così come per l'induzione. Infatti, ridotto ai minimi termini, possiamo dire che esistono due tipi di materiali in natura:

  1. gli isolanti, o anche dielettrici, in cui le cariche, una volta create, restano stazionarie nel punto in cui si trovano;
  2. i conduttori, in cui una parte degli elettroni degli atomi che compongono il materiale sono liberi di muoversi in tutto il volume.

Per gli isolanti funziona lo strofinio: strofinando con un panno il nostro corpo, questo si carica di cariche elettrostatiche. Possiamo allora usare questo corpo carico per caricare un conduttore; supponiamo il nostro isolante sia carico positivamente: avvicinando, senza entrare in contatto, il nostro isolante a un corpo conduttore, le cariche di segno negativo, che tendono ad essere attratte da quelle di segno positivo, si sposteranno, sotto effetto dell'induzione, verso il corpo carico positivamente; al contrario, le cariche di segno positivo "si sposteranno" (vedremo in seguito che, in realtà, solo gli elettroni, le cariche negative, si spostano, mentre i protoni restano fermi dove sono) nel lato opposto del conduttore. A questo punto possiamo sfruttare una peculiarità dei conduttori: questi condividono la carica tramite contatto. Essendo la Terra un enorme e gigantesco conduttore, collegando il nostro corpo a terra faremo sì che le cariche positive, che tendono a spostarsi il più lontano possibile dal nostro isolante carico, "scivolino a terra", in modo che il conduttore che vogliamo caricare sia pienamente carico negativamente. Interrotto il collegamento con la Terra, avremo un conduttore carico negativamente e potremo distribuire questa carica ad altri conduttori per contatto.

Fig. 2.1 Elettroscopio a foglie

La procedura sembra un po' macchinosa, ma per ora ci basta. Non resta che capire come misurare la carica elettrica di un corpo. Lo strumento classico più noto è l'elettroscopio a foglie, presentato in figura.

Avvicinando un oggetto carico al bulbo, le cariche di segno opposto dello strumento si sposteranno in questo, mentre le cariche di segno opposto tenderanno a disporsi lungo le foglie d'oro. Queste foglie sono cariche della stessa carica, e quindi si respingono, formando un angolo , che è dovuto all'equilibrio tra forza peso e forza elettrica. Per ora ci basta sapere che questo è proporzionale alla carica delle foglie, a sua volta proporzionale alla carica del corpo, e quindi , e quindi l'angolo che le foglie formano ci indica la carica dell'oggetto. In un successivo capitolo vedremo la proporzionalità tra l'angolo e la carica stessa.

La forza di Coulomb[modifica | modifica wikitesto]

Abbiamo parlato di cariche elettriche e di come queste si attraggano o respingano, senza però parlare di quale interazione vi sia tra loro. La scoperta si deve a Cavendish e Coulomb, di cui la forza prende nome, che la studiarono per via sperimentale. La forza che una carica esercita sull'altra è, in forma, uguale alla forza gravitazionale che attrae due corpi: dotati entrambi di massa, posti a una distanza nello spazio, questi si attraggono a vicenda, con una forza inversamente proporzionale alla distanza dei corpi al quadrato; questo tipo di forza è identica alla forza elettrica. In parole semplici, la massa è la carica del campo gravitazionale. Tuttavia la cosa in cui l'interazione tra cariche è differente dall'interazione tra masse è la presenza di due tipi di carica: questo fattore produce un doppio tipo di forza. Se le cariche sono dello stesso segno, la forza sarà repulsiva, e tenderanno ad allontanarsi; se invecee le cariche sono di segno opposto, queste tendono ad attrarsi con un'intensità uguale a quella con cui si respingerebbero.

La tendenza di cariche di segno opposto di avvicinarsi tra loro può essere vista anche come un naturale tentativo della natura stessa di "equilibrare le cose": un corpo che presenta lo stesso numero di cariche elettriche negative e positive è elettricamente neutro. Se si potessero quindi posizionare nello stesso punto dello spazio una carica elettrica negativa e una positiva, otterremo un punto elettricamente neutro, che quindi non influenzerà più altre cariche presenti nello spazio.

La cosa fondamentale della forza elettrica è proprio questa: le cariche opposte si attraggono, quelle concordi si respingono. E la forza con la quale queste interagiscono tra loro è enorme. Se nel nostro corpo ci fosse una piccola quantità di carica in eccesso, risentiremmo così tanto dell'effetto di questa forza da non poter in alcun modo vivere. Allo stesso modo, però, viene spontaneo chiedersi come sia possibile, negli atomi, la presenza del nucleo. Dal modello planetario sappiamo che i protoni, le cariche elementari positive, si trovano nel nucleo, molto vicine tra loro, mentre gli elettroni ruotano attorno a questo. Se è vero che le cariche di segno concorde si respingono, come è possibile che il nucleo sia stabile? Questo è dovuto ad un altro tipo di forza, che abbiamo visto nel capitolo introduttivo, che è la forza forte, che agisce nel nucleo degli atomi: questa forza, molto più forte di quella elettrica (di circa 100 volte), tende a tenere compatti tra loro i protoni rendendo stabile il tutto. Tuttavia, quando il numero di protoni cresce, il raggio del nucleo aumenta di conseguenza (sebbene le particelle siano molto piccole, sono dotate di massa e dimensioni); aumentando il raggio, la forza forte si fa sempre più debole, molto più di come si indebolisce la forza elettrica; per atomi grandi, quindi, l'equilibrio prodotto dalla forza forte risulta compromesso, e il nucleo è instabile. Se viene colpito da "neutroni lenti", questo si dividerà in due diversi nuclei carichi positivamente, che tenderanno quindi ad allontanarsi con forza, producendo una reazione a catena. Questo è il principio alla base della fissione nucleare, dalla quale si ricava quella che in gergo viene detta "energia atomica". In realtà quella non è altro che energia elettrica: un'altra prova che la natura è fortemente governata da fenomeni elettromagnetici.

La formulazione della forza elettrica, detta anche forza di Coulomb, è quindi la seguente.

La forza è di tipo vettoriale, diretta lungo la congiungente tra le cariche; decresce col crescere della distanza secondo una relazione quadratica inversa e il verso in cui è diretta, se repulsiva o attrattiva, è data dal segno delle cariche: infatti nella formula qui sopra e sono da considerarsi col segno. Essendo una forza, si misura in newton. La costante spesso viene scritta come , per semplificare alcuni calcoli successivi. Questa è pari a , mentre la costante , e viene chiamata costante dielettrica del vuoto.

Dalla seconda legge della dinamica possiamo inoltre risolvere il moto di una carica sottoposta alla forza di Coulomb:

Quindi, detto questo, possiamo dire che l'elettrostatica è totalmente conclusa. Data una carica, presa un'altra carica, detta "di prova", possiamo risolvere il moto di questa carica test semplicemente risolvendo questa equazione differenziale. Allora, abbiamo fatto, no?

In realtà c'è da discutere ancora un po'. Innanzitutto, la domanda successiva è: "e se sono presenti più cariche?" Per fortuna, le cose non si fanno complicate. La forza di Coulomb, infatti, come supposto da Coulomb stesso, rispetta il principio di sovrapposizione. Non ci sono prove sperimentali che questo non sia rispettato, quindi possiamo affermare quasi con certezza che questo è vero. Il principio di sovrapposizione afferma che, presa una carica di prova, se sono presenti nello spazio più cariche, la forza risultante sulla carica di prova sarà la somma vettoriale delle singole forze causate dalle cariche. Il che è, concettualmente, sia bello sia semplice.

Supponiamo allora di avere una certa distribuzione discreta di cariche elettriche nello spazio, dove conosciamo sia i singoli valori delle che le loro posizioni rispetto a un sistema di riferimento precedentemente scelto. La forza che risentirà la carica di prova posta nella posizione sarà la somma delle singole forze, ovvero:

La presenza del cubo al denominatore non deve trarre in inganno: è più comodo scrivere come , il che è la stessa cosa se ricordiamo che

La cosa importante su cui porre attenzione è che la somma è di tipo vettoriale, quindi bisogna lavorare con le componenti dei vettori. Tuttavia, bisogna sempre porre attenzione alle simmetrie in gioco, perché semplificano i calcoli. Facciamo un esempio semplice.

Esempio

Consideriamo una carica posta all'origine e un numero finito e pari di cariche tutte concordi e uguali tra loro poste ai vertici di un poligono regolare che ha al centro la carica . Quale forza risentirà la carica al centro?

Potremmo metterci a fare tutti i calcoli, ma potremmo allo stesso tempo osservare che, essendo il numero delle cariche pari, queste si troveranno, a coppie, ai vertici opposti del poligono, quindi giacciono entrambe su una retta passante per la carica e sono di segno e di valore uguali. Quindi la forza che le due cariche ai vertici esercitano sulla carica al centro è uguale e contraria, e quindi si annullano. Questo discorso lo si può fare per tutte le coppie di cariche presenti nel sistema, e otteniamo che la forza totale subita dalla carica è nulla. Cosa accade se il numero di cariche fosse infinito? In quel caso avremmo un anello carico, con densità lineare di carica costante. Il calcolo esplicito lo faremo per il campo elettrico tra qualche capitolo, ma le considerazioni di simmetria ci permettono di dire, in anticipo, che la forza al centro dell'anello sarà nulla.

 
Successivo