Applicazioni del teorema di Gauss

Forse è superfluo precisarlo, ma il teorema di Gauss ha innumerevoli applicazioni nella soluzione di esercizi e problemi. Infatti, sapendo che il flusso del campo elettrico attraverso una qualsiasi superficie è pari a , si può calcolare facilmente l'espressione del campo elettrico, prendendo in esame il flusso attraverso le note superfici gaussiane, ovvero delle superfici costruite ad hoc caso per caso che, rispettando e migliorando la simmetria del sistema, permettono una facile soluzione al problema. Ne diamo qualche esempio.

Esempio (2.6)

Partiamo da un caso opposto. Abbiamo noto il campo elettrico, che vale , dobbiamo calcolarci:

  1. la densità di carica;
  2. la carica contenuta in una sfera di raggio centrata nell'origine in due modi diversi.

Partiamo dal calcolare la densità di carica; dalla prima equazione di Maxwell vale , quindi basta applicarla per ottenere la soluzione. Poiché il campo è scritto in coordinate sferiche, conviene calcolare la divergenza in questo set di coordinate:

Passiamo ora al secondo punto, trovare la carica interna a una sfera di raggio qualsiasi con centro nell'origine. Possiamo procedere in due modi: il primo è banale, basta calcolare la carica totale come , ricordando che il volume di una sfera vale , differenziando otteniamo , quindi la carica contenuta sarà pari a:

Un altro modo per calcolarla è applicare il teorema di Gauss, prendendo come superficie gaussiana la stessa superficie della sfera:

Da cui otteniamo il risultato

 

Questo era un esempio di esercizio standard per poter valutare le conoscenze generali dell'elettrostatica. Tuttavia il teorema di Gauss è utile anche per calcolare campi elettrici di distribuzioni standard, come sfere, cilindri, piani.

Esempio (2.6 Sfera carica uniformemente)

Vogliamo calcolare il campo elettrico generato da una sfera carica in tutto lo spazio. Assumiamo che la carica totale della sfera sia e questa abbia raggio finito (se fosse infinito, non sarebbe una sfera carica ma sarebbe tutto lo spazio euclideo ad essere carico, il che è un po' strano). Da queste due informazioni otteniamo la densità di carica volumica:

Osserviamo che questa è costante, indipendente dalla posizione all'interno della sfera. Per questo motivo, e anche per il fatto che una sfera ha simmetria sferica (tautologie moderne) , ci aspettiamo che il campo sia radiale, scrivibile in forma . Applichiamo allora il teorema di Gauss, prendendo come superficie gaussiana una sfera centrata nel centro della sfera carica e di raggio ; otteniamo:

Lo uguagliamo al valore del flusso ottenendo:

Ovvero il campo generato da una sfera è uguale al campo generato da una carica puntiforme situata nel centro della sfera con carica pari alla carica totale della sfera. Questo però avviene fuori dalla sfera: a noi interessa il campo elettrico in tutto lo spazio. Quindi, dobbiamo calcolarlo anche nei punti interni della sfera, dove vale . Anche qui prendiamo come superficie gaussiana una sfera di centro il centro della carica e di raggio , ma stavolta dobbiamo stare attenti al fatto che la carica interna alla superficie gaussiana non è la carica totale del sistema; infatti la carica interna è , quindi applichiamo il teorema di Gauss a questo valore di carica interna:

Da cui otteniamo ; sostituendo alla densità il valore espresso a inizio problema e riordinando le cose, otteniamo l'espressione generale del campo elettrico in tutto lo spazio:

Fig. 2.7: andamento in funzione della distanza del campo elettrico di una sfera carica
 
Esempio (2.7 Piano infinito di carica)

Vediamo ora l'espressione del campo elettrico generato da un piano infinito di carica. Come abbiamo già anticipato qualche sezione fa, questo campo è uniforme in tutto lo spazio, con direzione normale al piano, e può essere utilizzato per approssimare il campo all'interno di un condensatore.

Ricavare l'espressione del campo è molto semplice. Prendiamo come superficie gaussiana una scatola (parallelepipedo) che intersechi il piano, con due facce parallele a questo e le altre quattro ortogonali (spesso si usa un cilindro, ma è la stessa cosa). La carica interna alla superficie, poiché il piano ha densità uniforme , sarà dove con indichiamo l'area delle due facce parallele al piano. Proprio perché sono parallele al piano, il vettore campo elettrico le interseca ortogonalmente (il versore normale alla superficie e il campo elettrico sono paralleli), e quindi il flusso attraverso ognuna di essa sarà pari a ; poiché queste sono due, il flusso totale attraverso la scatola sarà (si ricorda che le facce parallele hanno flusso nullo in quanto il versore normale alla superficie e il campo elettrico sono ortogonali). Applicando il teorema di Gauss:

Se ci sono due piani infiniti, uno con densità e l'altro con densità , il campo elettrico in tutto lo spazio sarà nullo (infatti i due campi si annullano), escluso il volume compreso tra i due piani, in cui vale (perché sono concordi e vengono sommati) ed è diretto dalla lastra positiva a quella negativa.

 
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