Precisazioni sulla legge di Ohm, resistori, calcolo di resistenze

Uniformità del campo elettrico[modifica | modifica wikitesto]

Abbiamo espresso la legge di Ohm in forma locale asserendo che, in regime stazionario, se i potenziali lungo le superfici del conduttore sono uniformi, allo lo è anche il campo lungo il conduttore stesso. In realtà, possiamo spiegare sia fisicamente che matematicamente perché.

Fig. 5.6

Consideriamo due lastre piane conduttrici (figura 5.6), come se fossero un condensatore, e poniamo delle cariche su di essi; la lastra negativa la colleghiamo a massa e creiamo una differenza di potenziale tra le lastre. Il potenziale su queste sarà uniforme ma nello spazio non lo sarà di certo, per via degli effetti di bordo. Quando però le colleghiamo con un filo conduttore (o con un blocco conduttore, in figura 5.6 accennato con linee tratteggiate) si crea sul conduttore una densità di carica esprimibile come:

Se le correnti sono stazionarie, questa carica volumica sarà zero, ma sarà ancora presente una carica superficiale : è proprio questa carica che redistribuisce il campo elettrico rendendolo uniforme.

Dal punto di vista matematico, invece, il potenziale del problema risolve l'equazione di Laplace, con le condizioni al contorno e ; notiamo che, per simmetria cilindrica, il problema è esprimibile in una sola variabile, . Inoltre, l'altra condizione al contorno fondamentale è che il campo elettrico lungo la normale alla superficie sia nullo: infatti, la corrente è parallela per definizione alla superficie del conduttore; di conseguenza, lo sarà anche il campo elettrico, la cui componente normale alla superficie è nulla. Tutto questo si traduce in . Quindi, dobbiamo risolvere l'equazione con le seguenti condizioni al contorno:

Come abbiamo detto, il problema si riduce ad un solo grado di libertà:

Applicando le condizioni al contorno, otteniamo che e che ; quindi il campo elettrico del problema sarà:

Ovvero, il campo elettrico è uniforme, come ci aspettavamo.

Resistori in serie e in parallelo[modifica | modifica wikitesto]

Fig. 5.7

Anche per le resistenze, come per i condensatori, le cose cambiano se sono in serie o in parallelo. Prima di tutto, precisiamo che i resistori sono gli strumenti di laboratorio comunemente utilizzati, mentre le resistenze sono le grandezze fisiche che, più generalmente, indicano l'impedenza di un conduttore ohmico. In figura 5.7 abbiamo resistori in serie e in parallelo.

Partiamo dal caso in cui sono in serie; avremo che a ogni resistore è associata una caduta di potenziale, quindi:

Le correnti che passano attraverso i resistori sono in realtà la stessa corrente perché in un filo, collegato a un generatore, può passare una sola corrente. Quindi, più resistori in serie sono equivalenti a un resistore unico avente come resistenza la somma delle singole resistenze:

Se ci troviamo invece ad avere resistori in parallelo, in questo caso sarà la differenza di potenziale ad essere uguale, mentre la corrente varia; la corrente totale che passa attraverso il circuito è:

Ovvero, nel caso in cui si hanno diversi resistori in serie, per avere il reciproco della resistenza equivalente si sommano i reciproci delle resistenze:

Resistenza elettrica di un conduttore qualsiasi[modifica | modifica wikitesto]

Le due leggi di Ohm valgono per qualsiasi conduttore, quindi anche tutti i circuiti filiformi le rispettano. La cosa interessante è che possono essere applicate anche a volumi qualsiasi: dividendo il volume considerato in fili posti in serie, si calcola la resistenza di ogni filo e poi si integra per fili su tutto il volume, visto che la resistenza di resistori in serie è la somma delle singole componenti. Facciamo un esempio.

Esempio (5.1)

Consideriamo un condensatore cilindrico riempito non di un dielettrico, ma di un conduttore con resistività ; per comodità consideriamo che la lunghezza del condensatore sia molto maggiore dei raggi delle due armature, quindi così da poter trascurare gli effetti di bordo. Il conduttore è quindi un guscio cilindrico spesso e lungo .

Ci sono due modi per calcolare la resistenza: partiamo dal metodo sbagliato e più complesso; il campo elettrico tra le armature, per simmetria cilindrica, è

Da questa ricaviamo immediatamente . Calcoliamo la corrente che attraversa il conduttore, calcolando il flusso di attraverso una superficie cilindrica:

Da questa ricaviamo che la carica sulle armature è . Applichiamo la legge di Ohm e calcoliamo il potenziale integrando il campo elettrico (lungo un cammino radiale):

Sostituendo in questa il valore della carica prima trovato:

Quindi abbiamo ricavato che la resistenza è

Il modo più intelligente di calcolare la resistenza resta però quello di dividere in fili il conduttore; più che in fili, vista la simmetria del sistema, lo dividiamo in piccoli volumetti cilindrici spessi e di sezione ; applicando la seconda legge di Ohm, la resistenza di ogni singolo volumetto è:

Integrando:

Concordemente con quanto prima calcolato.

 

Dielettrico conduttore[modifica | modifica wikitesto]

Un aspetto particolare delle correnti avviene quando abbiamo a che fare con dielettrici conduttori; la cosa non deve sorprendere: tutti i dielettrici sono in realtà pessimi conduttori, caratterizzati da un'elevata resistività , che approssimiamo come infinita nello studio che facciamo. Tuttavia, tutti i conduttori, anche l'aria, hanno un limite, chiamata rigidità, del campo elettrico esterno che possono sostenere: quando il campo supera questo limite, il materiale diventa conduttore.

La particolarità che adesso andiamo a vedere è quando poniamo un dielettrico con costante , che deve essere costante, in un condensatore e inseriamo una corrente che lo attraversa, quindi avrà anche una resistività . Sia chiaro, il condensatore può essere di qualsiasi forma, non per forza un condensatore noto. Vediamo come, in questo caso particolare, il prodotto della capacità del condensatore per la resistenza del conduttore è costante.

Poiché è costante, il campo elettrico nel condensatore è unico e indipendente dal materiale che inseriamo; consideriamo una superficie chiusa che contiene tutte le linee di forza del campo elettrico e calcoliamo il flusso di questo attraverso la superficie:

Dove abbiamo sfruttato al secondo passaggio. Adesso consideriamo il caso dal punto di vista del dielettrico, e applichiamo il teorema di Gauss per la superficie sopra considerata:

I due risultati, però, devono coincidere: la superficie è la stessa e il campo elettrico pure. Uguagliandoli:

Questo è sempre vero, e in particolare si applica per un condensatore reale con una propria resistenza: il prodotto è costante e pari al prodotto delle caratteristiche del dielettrico conduttore.

 PrecedenteSuccessivo