Circuito RC serie

Andiamo a risolvere un circuito classico come esempio, ovvero il circuito RC serie, che prevede una resistenza in serie a un condensatore; la resistenza più essere più o meno divisa in un più o meno complicato sistema di resistenze in serie o in parallelo, che corrispondono quindi a una resistenza equivalente in serie col condensatore.; il tutto è ovviamente collegato a un generatore di tensione che mantiene costante il potenziale ai suoi capi, e vi circola una corrente stazionaria. Ipotizziamo quindi che il circuito sia composto da una sola maglia, e andiamo a risolverlo, ricavandoci le funzioni dei potenziali e della corrente che circola nel circuito; la condizione iniziale è quando il condensatore è completamente scarico.

L'equazione di Kirchhoff per la magia ci dice che:

Esprimendo la corrente in funzione del potenziale del condensatore :

Otteniamo un'equazione differenziale del primo ordine non omogenea; chiamiamo , riaggiustando un po' le cose:

L'equazione ha soluzione esponenziale, e l'andamento del potenziale ai capi del condensatore è:

Ovvero la tensione ai suoi capi tende asintoticamente a , arrivandoci con un andamento esponenziale smorzato; d'altro canto, poiché la somma delle tensioni ai capi del condensatore e della resistenza deve dare la tensione fornita dal generatore , possiamo semplicemente ottenere la tensione ai capi della resistenza:

Allo stesso risultato potevamo giungere osservando che : la tensione ai capi della resistenza decresce fino a diventare nulla, infatti quando il condensatore si è completamente caricato, la corrente non circola più. La costante di tempo è caratteristica del circuito e indica il tempo dopo cui la tensione ai capi del condensatore è .

Per la corrente, invece, basta applicare ottenendo:

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