Onde piane nei mezzi

Quando un'onda si propaga in un mezzo, nell'ipotetico (quanto impossibile) caso in cui non possiamo trascurare le sorgenti le equazioni di Maxwell ci forniscono nuovamente le stesse equazioni delle onde viste nel vuoto, con l'unico accorgimento che la velocità non è più ma, come abbiamo già detto, sarà , con indice di rifrazione.

Più in generale però, soprattutto nei dielettrici, l'indice di rifrazione, o meglio , dipende dalla frequenza dell'onda elettromagnetica: in questi casi, onde a diverse frequenze avranno diverse velocità. Se quindi inviamo un pacchetto d'onda non monocromatica, il pacchetto si "sfalda" e le diverse onde avranno diverse velocità; anche, i campi e non saranno più in fase. Vediamo in particolare cosa stiamo dicendo.

Onde nei conduttori[modifica | modifica wikitesto]

Quando non possiamo più trascurare le sorgenti, le cose iniziano a complicarsi. Consideriamo per esempio un conduttore, in questo ci saranno le equazioni note:

Nei conduttori poi sappiamo una cosa in più: vale , quindi possiamo modificare la quarta equazione:

Tutto qua? Non possiamo fare proprio nulla? In realtà, nei conduttori ideali è trascurabile. Questa è una conseguenza dell'equazione di continuità della carica:

Otteniamo un'equazione differenziale in la cui soluzione è semplicemente ricavabile:

In un conduttore ideale , quindi il tempo caratteristico : la carica volumica è totalmente trascurabile, quindi la prima equazione di Maxwell è nulla.

Procediamo allora a calcolare il rotore del rotore del campo elettrico:

Da questa otteniamo ; la stessa cosa otteniamo per il campo magnetico, quindi avremo il sistema di equazioni differenziali:

Di queste brutte bestie ci interessa che le onde piane siano soluzione, e lo sono con una piccola precisazione. Posto infatti (la parte spaziale l'abbiamo compresa in ) il campo di un'onda piana polarizzata, avremo:

Poiché è un'onda polarizzata, il laplaciano avrà solo la derivata seconda in , quindi andando a sostituire queste espressione nell'equazione otterremo:

Da questa otteniamo l'equazione che deve soddisfare il numero d'onda: . È diventato un numero complesso, che possiamo esprimere come (poniamo il suo modulo):

Dove

Non ci interessa il risultato per esteso, ci interessa sapere che . Possiamo quindi esprimere il numero d'onda nell'espressione del campo elettrico:

Se poniamo , otteniamo un fattore : questo è un coefficiente di attenuazione e è la lunghezza di attenuazione dell'onda, dopo la quale l'ampiezza dell'onda è quella iniziale. Osserviamo che:

Fig. 9.10: un'esempio esagerato di come viene smorzata l'onda; si notino i campi non in fase.

In un conduttore ideale, quindi, : l'onda non penetra, ma resta confinata sulla superficie. Tutto questo comporta anche che i campi siano sfasati: resta ancora , ma poiché , essendo un numero complesso anche la velocità lo sarà, di conseguenza i campi saranno sfasati. In figura 9.10 un esempio esagerato (perché troppo ampio) di come l'onda viene smorzata in un conduttore.

Onde nei dielettrici[modifica | modifica wikitesto]

Vediamo cosa succede a nei dielettrici. Lo vediamo con un modellino simile a quello che abbiamo trattato per discutere la polarizzazione elettrica, solo che questa volta lo prendiamo dipendente dal tempo.

Come abbiamo visto nella sezione 4.2 (e più tardi nella 4.6), per un dielettrico omogeneo, lineare e isotropo possiamo trattare la polarizzazione per deformazione come un equilibrio tra due forze: la forza elettrica che tende a spostare le cariche positive e negative in direzioni opposte e una forza di richiamo, paragonabile alla forza elastica. L'equazione del moto per un modellino così era semplicemente:

Tramite questa potevamo quindi definire un momento di dipolo dell'atomo parallelo al campo locale che agisce sull'atomo. Ora consideriamo questo stesso modellino, con l'atomo considerato allo stesso modo, con la differenza che, invece di risentire un campo locale uniforme, questo è soggetto a un'onda elettromagnetica piana. Il campo percepito dal dipolo sarà il nostro ormai definito:

Poiché non vogliamo essere masochisti, consideriamo il dipolo fermo in un punto: la parte spaziale sarà sempre la stessa e quindi il campo percepito dal dipolo sarà semplicemente , dove abbiamo inserito in la parte spaziale dell'oscillazione. All'equazione del moto dovremo quindi aggiungere questo termine: il dipolo non sarà più fermo, e avremo:

Definiamo frequenza di coppia caratteristica dell'oscillazione (come in un oscillatore armonico; attenzione: è diversa dalla pulsazione dell'onda ), tramite questa possiamo riscrivere l'equazione come:

Questa espressione è sbagliata. Non perché è un modellino (lasciamo stare questi particolari), ma perché manca un termine: se delle cariche elettriche si muovono, per quanto abbiamo detto finora, irraggiano onde elettromagnetiche. Quindi in questa va inserito un termine dissipativo che possiamo esprimere come . Aggiungendolo e dividendo tutto per la massa della carica:

Risolvendo questa equazione, troveremo la funzione della posizione della carica , che ci fornirà quindi il momento di dipolo dipendente dal tempo . Notiamo che, coerentemente con tutto quello fatto finora, avremo che sono tutti paralleli; potranno avere verso opposto in determinati istanti a causa della fase di oscillazione, ma la direzione in cui oscillano è la stessa.

L'equazione del moto è quella di un oscillatore armonico smorzato e forzato; la soluzione classica è del tipo:

Derivandola e andando a sostituire le derivate nell'equazione, otteniamo (da ora in avanti, appurato che le direzioni di oscillazioni sono tutte uguali, considereremo i moduli):

Risolvendo questa equazione in otteniamo:

Questo è un numero complesso; di conseguenza, avremo che anche il momento di dipolo sarà complesso:

Con:

Fase e modulo di sono facilmente ricavabili:

Importante è osservare che questi dipendono dalla pulsazione dell'onda . Per avere la soluzione fisica, dovremo ovviamente considerare la parte reale del momento di dipolo:

Otteniamo quello che ci aspettavamo: e sono sfasati. Conoscendo il momento di dipolo di un singolo atomo, possiamo ottenere la polarizzazione (attenzione: in questo caso sostituisce come densità volumica di atomi/molecole, perché in questa sezione è l'indice di rifrazione che vogliamo studiare):

Con ; conosciamo la relazione tra e :

Di conseguenza, sarà un numero complesso; poiché solitamente (ovvero quasi sempre) è molto piccolo, possiamo approssimare:

L'indice di rifrazione si divide quindi due termini:

  • ci fornisce l'indice di rifrazione del dielettrico, con cui possiamo determinare la velocità dell'onda nel mezzo;
  • ci fornisce invece l'indice di assorbimento dell'onda da parte del mezzo.

Con un trucco di magia, modifichiamo l'espressione in . A questo punto, ricordandoci che , la precedente espressione può essere riscritta come ; esprimendo ancora , la precedente espressione si trasforma ancora in . Non ci interessa granché del primo termine, quindi lo riscriviamo come . Tutto questo serve per poter esprimere il campo elettrico:

Dove abbiamo considerato ; come nel caso dei dielettrici, è la lunghezza di attenuazione.

Fig. 9.11: l'andamento della parte reale e immaginaria di ; in verde la zona di dispersione normale, in blu la zona di dispersione anomala.

In figura 9.11 abbiamo l'andamento di in funzione della pulsazione dell'onda. Osserviamo che a si ha massimo: in questa zona l'onda viene totalmente assorbita dal materiale. L'andamento di in questa zona è particolare: infatti, nella zona A (in verde nell'immagine) : questa si chiama zona di dispersione normale dell'onda e non accadono cose strane. Attorno a , invece, avremo : questa zona (in blu) viene chiamata zona di dispersione anomala dell'onda e, poiché , avremo . Disastro! Qualcosa che va più veloce della velocità della luce? Che sta a succede?!

Fig. 9.12: differenza tra velocità di fase e velocità di gruppo.

Nulla di cui preoccuparsi: il limite di Einstein impone che nessuna informazione possa viaggiare più veloce della luce, ma questa è semplicemente la velocità di fase dell'onda: l'informazione viene trasferita con la velocità di gruppo, che resta al sicuro al di sotto di . Per esempio, si consideri la figura 9.12: il pacchetto d'onda viaggia con una velocità di gruppo diversa dalla velocità di fase con cui le onde oscillano, quindi non c'è nulla di cui preoccuparsi. Però che si superi in qualche modo è interessante: nei dielettrici le onde hanno strani comportamenti in alcuni casi.

Una cosa che non abbiamo precisato è che, tutto questo studio, va rifatto per ogni tipo di atomo di cui è formato il materiale: avremo quindi diversi , a cui corrispondono diverse : per ogni atomo ci sarà una frequenza di assorbimento caratteristica, e il loro insieme viene chiamato spettro dell'atomo. Anche per questo motivo la zona di dispersione anomala non è accentuata come in figura 9.11, ma risulta molto molto più limitata, tanto che la maggior parte dello spettro si trova in zona di dispersione normale.

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