Le equazioni di Maxwell e l'equazione delle onde

Le quattro equazioni di Maxwell[modifica | modifica wikitesto]

Cosa ci dice, però, che la proposta di Maxwell sia quella giusta? Potremmo aggiungere al rotore di un altro campo solenoidale e rientrare ancora nel dominio matematico in cui tutto funziona e non ci sono particolari incongruenze. Vero, peccato che la fisica non è la matematica: possiamo inventarci i campi più strani del mondo, ma siamo sempre vincolati dalla natura, sarà l'evidenza sperimentale a dirci qual è la scelta giusta. A verificare che la proposta di Maxwell è proprio quella giusta venne Hertz nel 1888, parecchio tempo dopo (Maxwell era già morto) la pubblicazione delle quattro equazioni nel 1864.

Data per verificata la quarta equazione, possiamo elencare le equazioni di Maxwell sia nel vuoto che nella materia (posto ):

Nella materia hanno la forma classica:

Tutto l'elettromagnetismo è riassunto in queste quattro equazioni. A queste vanno aggiunte altre espressioni che conosciamo già, che sono la forza risentita da una carica, le relazioni che legano i campi di induzione e spostamento ai campi "puri" e le condizioni di raccordo per spazi discontinui caratterizzati da diversi materiali (e quindi domini di spazio in cui valgono le equazioni di Maxwell esclusi i bordi), e sono:

Abbiamo riassunto in una pagina tutto quello che abbiamo visto nel corso: è tutto qui, tutto. Usando solo le espressioni che sono presenti qui (più le equazioni di Maxwell, ovviamente) si può risolvere qualsiasi problema di elettrodinamica classica, come abbiamo visto già svariate volte. Notate anche le analogie tra i campi elettrici e magnetici, come si richiamano nelle varie espressioni e si alternano.

Tiriamo un po' le somme di tutto. Le equazioni di Maxwell nel vuoto valgono punto per punto (si dicono infatti equazioni puntuali), mentre nella materia non è più vero: infatti, quando è presente la materia i campi sono macroscopici e non microscopici, e quindi si intendono come campi mediati su un volumetto di materia, piccolo ma finito. L'aver scritto in questo modo le equazioni di Maxwell ha delle conseguenze non banali: la prima e più palese è che i campi elettrico e magnetico non sono altro che sorgenti l'uno dell'altro. Possiamo avere campi elettrici generati a partire da un campo magnetico e viceversa, tutto senza avere correnti o cariche (e questo porta alle onde). Ha quindi più senso, adesso, parlare di "campo elettromagnetico", ora che abbiamo visto come i due campi si inducano a vicenda. Inoltre, l'averle scritte in forma differenziale (le equivalenti in forma integrale le abbiamo viste durante il corso ma magari le proponiamo tra poco) ci mostra come, per poter determinare i due campi, bastino solo la terza e la quarta equazione di Maxwell, in quanto le prime due sono intrinseche in queste.

Richard Feynman, come introduzione all'elettrodinamica nelle sue famose Lectures, disse che "in un futuro molto lontano l'evento più importante del XIX secolo sarà la scrittura delle quattro equazioni di Maxwell; a confronto, la guerra di secessione americana sembrerà un semplice conflitto provinciale." per enfatizzare l'importanza di queste equazioni. Può sembrare forse un'affermazione eccessiva, ma se si pensa al fatto che senza di queste non avremmo tutta la tecnologia moderna (e voi non potreste neanche leggere queste righe), forse non appare così esagerata. Semplicemente, le quattro equazioni di Maxwell e l'elettrodinamica in generale hanno posto le basi per la nascita di tutta la fisica moderna, che ci ha fornito la tecnologia con cui oggi conviviamo.

In breve, tutto quello che abbiamo visto finora è abbastanza. L'elettromagnetismo è tutto qui: elettrostatica, magnetostatica e elettrodinamica che abbiamo studiato finora rappresentano una teoria omogenea ed elegante. Tuttavia, le cose belle e interessanti (e, chissà perché, più complicate) iniziano ora: le conseguenze delle quattro equazioni di Maxwell rappresentano la parte più potente della teoria.

Ne abbiamo parlato, ecco le equazioni di Maxwell in forma integrale:

L'equazione delle onde[modifica | modifica wikitesto]

La conseguenza più interessante delle equazioni di Maxwell non è solo l'unificazione dei campi elettrico e magnetico, ma è come questi si comportano. Per esempio, consideriamo un circuito nello spazio in cui circola una corrente variabile nel tempo che decresce fino ad essere nulla: questo genera un campo magnetico variabile che tenderà ad annullarsi, a sua volta questo genera un campo elettrico dipendente dal tempo che varia allo stesso modo, che rigenera a sua volta un altro campo magnetico variabile e così via. Se non assorbiamo in qualche modo questa energia, e restano nello spazio alternandosi a vicenda per un tempo indefinito; se invece nello spazio è presente un materiale, questo assorbirà l'energia del campo per effetto Joule. Come si propagano i campi nello spazio vuoto? Possiamo vederlo facilmente partendo dalle equazioni di Maxwell: proviamo a calcolare il rotore del rotore del campo elettrico:

D'altro canto, sappiamo che ; in assenza di sorgenti, , e otteniamo quindi:

Riscritta in un altro modo:

Questo è anche esprimibile attraverso l'operatore d'Alambertiano:

Otteniamo quindi l'equazione di d'Alambert per il campo elettrico (se rifacciamo i calcoli col campo magnetico, otteniamo lo stesso risultato):

(Potremmo stare a lungo a discutere di quanto sia brutto il simbolo : se avessimo usato sarebbe stato più carino, peccato che questo è solo una nostra invenzione, mentre l'orrendo quadratino è ormai comunemente usato per indicare l'operatore d'Alambertiano.)

L'equazione di d'Alambert è anche nota come equazione delle onde perché le sue soluzioni sono funzioni che traslano rigidamente nello spazio come delle onde; la velocità con cui si propagano, in questo caso, è : quando Maxwell la calcolò, osservando che aveva un valore molto vicino alla velocità della luce nota all'epoca, ipotizzò proprio che la luce fosse un'onda elettromagnetica. Oggi sappiamo che aveva ragione.

La conseguenza più interessante delle equazioni di Maxwell è proprio che i campi e si propagano nello spazio come delle onde, chiamate onde elettromagnetiche, e hanno nel vuoto la stessa velocità di propagazione della luce (anche se sarebbe più giusto dire il contrario, in quanto la luce è un'onda elettromagnetica). Se, quindi, nello spazio non ci sono materiali, l'onda elettromagnetica continuerà a propagarsi indefinitamente, trasportando, come vedremo, energia e altre caratteristiche. Vedremo anche una soluzione particolare all'equazione di d'Alambert e accenneremo brevemente a cosa accade quando le onde si propagano nei mezzi materiali.

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