Covarianza relativistica dell'elettromagnetismo

Ci siamo: abbiamo quasi finito! Con la scrittura delle equazioni di d'Alambert per i potenziali (li consideriamo nel vuoto):

Possiamo adesso passare a parlare di trasformazioni di Lorentz. Infatti, in questa forma, le cose vengono gratis, basterà solo mettere a posto qualche tassello, ma li abbiamo tutti. Abbiamo già visto cosa accade alle sorgenti sotto trasformazioni di Lorentz: e cambiano, ma la quadricorrente si trasforma come un quadrivettore. A questo punto, se prendiamo i due potenziali e costruiamo un vettore simile:

Questo è un quadrivettore a vista, ovvero, se paragonato al quadrimpulso risulta avere la stessa espressione formale: se il quadrimpulso è un quadrivettore, anche quello scritto qui lo è. Lo chiamiamo quadripotenziale. Se a questo applichiamo il quadrioperatore d'Alambertiano (sostituire con "quadricoso" se non si ricorda il nome per intero) , otterremo:

Questo corrisponde a due diverse espressioni per le componenti temporali e quelle spaziali:

Riotteniamo le nostre equazioni per i potenziali. Resta solo da appurare la coerenza dell'affermazione . Il quadrioperatore d'Alambertiano è definito come:

Di conseguenza sarà:

Che è uno scalare. L'uguaglianza vede quindi uno scalare per un quadrivettore uguagliati a uno scalare per un quadrivettore: entrambi i membri si trasformano allo stesso modo, quindi l'uguaglianza è lecita.

Tutto questo serve per poter affermare, ancora una volta, che la teoria elettrodinamica è covariante relativisticamente, e sfruttando i potenziali nelle loro equazioni delle onde la dimostrazione è stata, come visto, banale.

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