Nella sezione 2.8 abbiamo visto e parlato dell'equazione di Poisson e di Laplace, e abbiamo detto che la soluzione a queste equazioni esiste ed è unica. Possiamo dimostrarlo, ci soffermeremo a dimostrare l'unicità.
Teorema (di unicità della soluzione)
La soluzione all'equazione di Poisson è unica.
Dimostrazione
Prendiamo l'equazione di Poisson scritta come
; la condizione al contorno che poniamo è che la funzione vale
su una superficie
. Per assurdo, supponiamo esistano due soluzioni distinte all'equazione:

Chiamiamo
; in questo modo, la funzione
soddisfa l'equazione di Laplace
, e vale
sulla superficie
. Consideriamo una funzione derivata da questa, in particolare la funzione
, e vogliamo calcolare l'integrale sul volume
circondato dalla superficie
; questo varrà:

Questo è vero per il teorema della divergenza. Il membro a destra è sempre nullo, in quanto la funzione
assume valore
sulla superficie
. Il membro a sinistra può essere esplicitato:

Poiché
è definita positiva, l'integrale è nullo solo quando la funzione è nulla. Ma se il gradiente della funzione è nulla, vuol dire che questa è costante in tutto lo spazio, ovvero
. Tuttavia
assume valore
sulla superficie
, e, poiché è costante in tutto lo spazio, concludiamo che
ovunque. Da come è definita
, ne concludiamo che
, ovvero le soluzioni coincidono (avevamo ipotizzato fossero distinte). Segue che la soluzione dell'equazione di Poisson (o di Laplace) è unica.