Teorema di unicità della soluzione dell'equazione di Poisson

Nella sezione 2.8 abbiamo visto e parlato dell'equazione di Poisson e di Laplace, e abbiamo detto che la soluzione a queste equazioni esiste ed è unica. Possiamo dimostrarlo, ci soffermeremo a dimostrare l'unicità.

Teorema (di unicità della soluzione)

La soluzione all'equazione di Poisson è unica.

 
Dimostrazione

Prendiamo l'equazione di Poisson scritta come ; la condizione al contorno che poniamo è che la funzione vale su una superficie . Per assurdo, supponiamo esistano due soluzioni distinte all'equazione:

Chiamiamo ; in questo modo, la funzione soddisfa l'equazione di Laplace , e vale sulla superficie . Consideriamo una funzione derivata da questa, in particolare la funzione , e vogliamo calcolare l'integrale sul volume circondato dalla superficie ; questo varrà:

Questo è vero per il teorema della divergenza. Il membro a destra è sempre nullo, in quanto la funzione assume valore sulla superficie . Il membro a sinistra può essere esplicitato:

Poiché è definita positiva, l'integrale è nullo solo quando la funzione è nulla. Ma se il gradiente della funzione è nulla, vuol dire che questa è costante in tutto lo spazio, ovvero . Tuttavia assume valore sulla superficie , e, poiché è costante in tutto lo spazio, concludiamo che ovunque. Da come è definita , ne concludiamo che , ovvero le soluzioni coincidono (avevamo ipotizzato fossero distinte). Segue che la soluzione dell'equazione di Poisson (o di Laplace) è unica.

 
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