Teorema di unicità della soluzione dell'equazione di Poisson

Nella sezione 2.8 abbiamo visto e parlato dell'equazione di Poisson e di Laplace, e abbiamo detto che la soluzione a queste equazioni esiste ed è unica. Possiamo dimostrarlo, ci soffermeremo a dimostrare l'unicità.

Teorema (di unicità della soluzione)

La soluzione all'equazione di Poisson è unica.

 

Dimostrazione

Prendiamo l'equazione di Poisson scritta come ${\boldsymbol {\nabla }}^{2}f=\rho$${\boldsymbol {\nabla }}^{2}f=\rho$; la condizione al contorno che poniamo è che la funzione vale $f=f_{S}$$f=f_{S}$ su una superficie $S$$S$. Per assurdo, supponiamo esistano due soluzioni distinte all'equazione:

$${\begin{aligned}&f_{1}\rightarrow {\boldsymbol {\nabla }}^{2}f_{1}=\rho \quad {\text{con }}f_{1}=f_{S}{\text{ su }}S\\&f_{2}\rightarrow {\boldsymbol {\nabla }}^{2}f_{2}=\rho \quad {\text{con }}f_{2}=f_{S}{\text{ su }}S\\\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}&f_{1}\rightarrow {\boldsymbol {\nabla }}^{2}f_{1}=\rho \quad {\text{con }}f_{1}=f_{S}{\text{ su }}S\\&f_{2}\rightarrow {\boldsymbol {\nabla }}^{2}f_{2}=\rho \quad {\text{con }}f_{2}=f_{S}{\text{ su }}S\\\end{aligned}}$$

Chiamiamo $g=f_{1}-f_{2}$$g=f_{1}-f_{2}$; in questo modo, la funzione $g$$g$ soddisfa l'equazione di Laplace ${\boldsymbol {\nabla }}^{2}g=0$${\boldsymbol {\nabla }}^{2}g=0$, e vale $g_{S}=f_{S}-f_{S}=0$$g_{S}=f_{S}-f_{S}=0$ sulla superficie $S$$S$. Consideriamo una funzione derivata da questa, in particolare la funzione $g{\boldsymbol {\nabla }}(g)$$g{\boldsymbol {\nabla }}(g)$, e vogliamo calcolare l'integrale sul volume $\tau$$\tau$ circondato dalla superficie $S$$S$; questo varrà:

$$\int _{\tau }{\boldsymbol {\nabla }}\cdot (g{\boldsymbol {\nabla }}g)d\tau =\int _{S}g{\boldsymbol {\nabla }}g\,dS$$

$$\int _{\tau }{\boldsymbol {\nabla }}\cdot (g{\boldsymbol {\nabla }}g)d\tau =\int _{S}g{\boldsymbol {\nabla }}g\,dS$$

Questo è vero per il teorema della divergenza. Il membro a destra è sempre nullo, in quanto la funzione $g$$g$ assume valore $0$$0$ sulla superficie $S$$S$. Il membro a sinistra può essere esplicitato:

$$\int _{\tau }{\boldsymbol {\nabla }}\cdot (g{\boldsymbol {\nabla }}g)d\tau =\int _{\tau }({\boldsymbol {\nabla }}g)^{2}d\tau +\int _{\tau }g({\boldsymbol {\nabla }}^{2}g)d\tau =\int _{\tau }({\boldsymbol {\nabla }}g)^{2}d\tau =0$$

$$\int _{\tau }{\boldsymbol {\nabla }}\cdot (g{\boldsymbol {\nabla }}g)d\tau =\int _{\tau }({\boldsymbol {\nabla }}g)^{2}d\tau +\int _{\tau }g({\boldsymbol {\nabla }}^{2}g)d\tau =\int _{\tau }({\boldsymbol {\nabla }}g)^{2}d\tau =0$$

Poiché $({\boldsymbol {\nabla }}g)^{2}$$({\boldsymbol {\nabla }}g)^{2}$ è definita positiva, l'integrale è nullo solo quando la funzione è nulla. Ma se il gradiente della funzione è nulla, vuol dire che questa è costante in tutto lo spazio, ovvero $g={\text{cost}}$$g={\text{cost}}$. Tuttavia $g$$g$ assume valore $0$$0$ sulla superficie $S$$S$, e, poiché è costante in tutto lo spazio, concludiamo che $g=0$$g=0$ ovunque. Da come è definita $g=f_{1}-f_{2}=0$$g=f_{1}-f_{2}=0$, ne concludiamo che $f_{1}=f_{2}$$f_1=f_2$, ovvero le soluzioni coincidono (avevamo ipotizzato fossero distinte). Segue che la soluzione dell'equazione di Poisson (o di Laplace) è unica.