Teorema di Helmholtz

In virtù della teoria classica dell'elettrodinamica, il teorema di Helmholtz risulta fondamentale per dare un senso a tutto quello che si fa. D'altronde, le quattro equazioni di Maxwell sono divergenza e rotore dei campi elettrico e magnetico: cosa ci dice che, dati divergenza e rotore di un campo vettoriale, questo risulta essere univocamente definito? A dircelo è proprio il teorema di Helmholtz, che afferma Se sono note la divergenza e il rotore di un campo vettoriale , e entrambi vanno a 0 all'infinito più rapidamente di , e anche il campo stesso va a zero all'infinito, allora il campo vettoriale è univocamente definito dalla seguente espressione:

Dove gli integrali sono calcolati su tutto lo spazio.

Vediamo come possiamo dimostrarlo. Ricordiamo che e ; chiamiamo:

L'espressione di diventa:

Per vedere se le cose hanno senso, se calcoliamo la divergenza di questa espressione:

Ha senso con quanto scritto finora. Il rotore invece:

Per il laplaciano avremo:

Ottimo, a meno che . La divergenza di vale:

Dove abbiamo usato la stessa uguaglia vista nella sezione 6.6 (relazione tra gradiente puro e gradiente primato). Applicando la formula , ovvero:

Possiamo allora riscrivere:

Applichiamo al secondo membro a destra il teorema della divergenza:

Allora, il primo termine è sempre nullo, perché e la divergenza di un rotore è sempre nulla; il secondo termine invece è un integrale di superficie all'infinito, e se va a zero all'infinito abbastanza in fretta questo sarà nullo.

Questo significa anche dire che gli integrali nelle espressioni di e convergono, anche perché se non convergessero i due campi non esisterebbero. Per possiamo assumere , e i due integrali avranno una forma del tipo () :

Dove vale o a seconda del caso. Da questa relazione concludiamo che non può essere proporzionale ne a (perché l'integrale di una costante su uno spazio infinito diverge), ne a , perché anche l'integrale di un logaritmo diverge. In conclusione, i campi e devono andare a zero all'infinito più rapidamente di , il che rende nulla, per quanto ne abbiamo detto.

Quindi, possiamo scrivere il nostro campo vettoriale esprimibile come:

Cosa ci assicura che questa scrittura sia unica? Nessuno: possiamo tranquillamente aggiungere a un qualsiasi campo vettoriale che abbia divergenza e rotore nullo e ottenere la stessa rappresentazione. Meno male che un campo irrotazionale e solenoidale allo stesso tempo non possa che essere nullo: la scrittura è unica, il campo risulta univocamente determinato dalla sua divergenza e dal suo rotore.

Piccolo appunto: vi siete mai chiesti perché nelle espressioni dei campi elettrico e magnetico (e di tutti i derivati: campi ausiliari, potenziali ecc) ci sia sempre un al denominatore? È tutto in virtù del teorema di Helmholtz.

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