Teorema di Gauss-Green

Durante il corso si fa largo uso del teorema di Gauss, soprattutto nei primi capitoli. Ricordiamo la definizione di divergenza:

$${\text{div}}(\mathbf {f} )={\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {f} ={\frac {\partial f_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial f_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial f_{3}}{\partial z}}$$

$${\text{div}}(\mathbf {f} )={\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {f} ={\frac {\partial f_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial f_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial f_{3}}{\partial z}}$$

La divergenza è uno scalare, e non un vettore, come si nota. Fisicamente, la divergenza indica la presenza di una variazione nella divergenza o convergenza delle linee di campo; questo non vuol dire che campi con linee di campo parallele abbiano divergenza nulla: se queste linee diventano meno intense con la distanza dalla sorgente, la divergenza sarà certamente non nulla. È ovvio che se il campo è costante in tutto lo spazio, la divergenza sarà nulla. Dimostriamo ora matematicamente il teorema di Gauss-Green.

Teorema (di Gauss-Green)

Sia $\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{2}$$\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{2}$ un dominio semplice, connesso e con frontiera regolare a tratti. Sia $\mathbf {f} \in C^{1}(A,\mathbb {R} ^{3})$$\mathbf {f} \in C^{1}(A,\mathbb {R} ^{3})$ campo vettoriale, con $A$$A$ aperto tale che $\Omega \subseteq A\subseteq \mathbb {R} ^{3}$$\Omega \subseteq A\subseteq \mathbb {R} ^{3}$. Sia ${\hat {\mathbf {n} }}$${\hat {\mathbf {n} }}$ la normale uscente dal dominio $\Omega$$\Omega$, allora il flusso del campo attraverso la superficie chiusa del dominio è uguale all'integrale di volume della divergenza del campo, ovvero:

$$\int _{\Omega }({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {f} )\,dxdydz=\int _{\partial ^{+}D}(\mathbf {f} \cdot {\hat {\mathbf {n} }})\,dS$$

$$\int _{\Omega }({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {f} )\,dxdydz=\int _{\partial ^{+}D}(\mathbf {f} \cdot {\hat {\mathbf {n} }})\,dS$$

 

Non è presente ambiguità sul verso della normale: avendo detto che è uscente, essendo una superficie chiusa, è ben definito il versore ${\hat {\mathbf {n} }}$${\hat {\mathbf {n} }}$. L'utilità di questo teorema è che spesso risolvere integrali di superfici non è semplice, e si può quindi passare a un integrale di volume che, considerata la divergenza (che è una somma di derivate), può risultare più semplice. A volte succede ovviamente il contrario, e quindi si può passare da integrali di volume a integrali di superficie e viceversa a seconda di quale sia più comodo calcolare.

Dimostrazione

La dimostrazione procede per verifica diretta dell'uguaglianza dei due membri. Il primo membro non è da sviluppare molto:

$$\int _{\Omega }({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {f} )\,dxdydz=\int _{\Omega }{\frac {\partial f_{1}}{\partial x}}\,dxdydz+\int _{\Omega }{\frac {\partial f_{2}}{\partial y}}\,dxdydz+\int _{\Omega }{\frac {\partial f_{3}}{\partial z}}\,dxdydz$$

$$\int _{\Omega }({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {f} )\,dxdydz=\int _{\Omega }{\frac {\partial f_{1}}{\partial x}}\,dxdydz+\int _{\Omega }{\frac {\partial f_{2}}{\partial y}}\,dxdydz+\int _{\Omega }{\frac {\partial f_{3}}{\partial z}}\,dxdydz$$

Dobbiamo verificare che il secondo membro è uguale a questo. Questo possiamo riscriverlo come:

$$\int _{\partial ^{+}D}(\mathbf {f} \cdot {\hat {\mathbf {n} }})\,dS=\int _{\partial ^{+}D}\mathbf {f} _{1}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,dS+\int _{\partial ^{+}D}\mathbf {f} _{2}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,dS+\int _{\partial ^{+}D}\mathbf {f} _{3}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,dS$$

$$\int _{\partial ^{+}D}(\mathbf {f} \cdot {\hat {\mathbf {n} }})\,dS=\int _{\partial ^{+}D}\mathbf {f} _{1}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,dS+\int _{\partial ^{+}D}\mathbf {f} _{2}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,dS+\int _{\partial ^{+}D}\mathbf {f} _{3}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,dS$$

Osserviamo che il dominio $\Omega$$\Omega$ è semplice, possiamo scrivere:

$$\Omega ={\Big \{}g_{1}(x,y)\leq z\leq g_{2}(x,y);\,(x,y)\in D;\,(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}{\Big \}}$$

$$\Omega ={\Big \{}g_{1}(x,y)\leq z\leq g_{2}(x,y);\,(x,y)\in D;\,(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}{\Big \}}$$

Considerando questa costruzione del dominio, l'integrale sulla terza componente diventa:

$$\int _{\Omega }{\frac {\partial \mathbf {f} _{3}}{\partial z}}dxdydz=\int _{D}\left(\int _{g_{1}(x,y)}^{g_{2}(x,y)}{\frac {\partial \mathbf {f} _{3}}{\partial z}}dz\right)dxdy=\int _{D}{\Big (}\mathbf {f} _{3}{\big (}x,y,g_{2}(x,y){\big )}-\mathbf {f} _{3}{\big (}x,y,g_{1}(x,y){\big )}{\Big )}dxdy$$

$$\int _{\Omega }{\frac {\partial \mathbf {f} _{3}}{\partial z}}dxdydz=\int _{D}\left(\int _{g_{1}(x,y)}^{g_{2}(x,y)}{\frac {\partial \mathbf {f} _{3}}{\partial z}}dz\right)dxdy=\int _{D}{\Big (}\mathbf {f} _{3}{\big (}x,y,g_{2}(x,y){\big )}-\mathbf {f} _{3}{\big (}x,y,g_{1}(x,y){\big )}{\Big )}dxdy$$

D'altronde, la superficie di contorno del dominio, se questo è semplice e connesso, è una superficie cartesiana, parametrizzabile come $\phi (u,v)=(u,v,g_{2}(u,v))$$\phi (u,v)=(u,v,g_{2}(u,v))$, e il versore normale è $(\phi _{u}\times \phi _{v})=(-g_{2x},-g_{2y},-1)$$(\phi _{u}\times \phi _{v})=(-g_{2x},-g_{2y},-1)$, quindi l'integrale al secondo membro della terza componente è:

$${\begin{aligned}\int _{\partial ^{+}D}\mathbf {f} _{3}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,dS=&\int _{D}\mathbf {f} _{3}(u,v,g_{2}(u,v))\cdot (\phi _{u}\times \phi _{v})\,dudv+\int _{D}\mathbf {f} _{3}(u,v,g_{1}(x,v)\cdot (\phi _{u}\times \phi _{v})\,dudv=\\=&\int _{D}{\Big (}\mathbf {f} _{3}{\big (}x,y,g_{2}(x,y){\big )}-\mathbf {f} _{3}{\big (}x,y,g_{1}(x,y){\big )}{\Big )}\,dxdy\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}\int _{\partial ^{+}D}\mathbf {f} _{3}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,dS=&\int _{D}\mathbf {f} _{3}(u,v,g_{2}(u,v))\cdot (\phi _{u}\times \phi _{v})\,dudv+\int _{D}\mathbf {f} _{3}(u,v,g_{1}(x,v)\cdot (\phi _{u}\times \phi _{v})\,dudv=\\=&\int _{D}{\Big (}\mathbf {f} _{3}{\big (}x,y,g_{2}(x,y){\big )}-\mathbf {f} _{3}{\big (}x,y,g_{1}(x,y){\big )}{\Big )}\,dxdy\end{aligned}}$$

Ovvero gli integrali delle componenti tre sono uguali in entrambi i membri. Poiché il dominio è semplice e connesso, si può ripetere il procedimento per le altre due variabili $x,y$$x,y$ e la dimostrazione è conclusa.

 

Dimostriamo adesso l'identità di Green che consegue dal teorema della divergenza.

Teorema (identità di Green)

Sia $\mathbf {v}$$\mathbf{v}$ campo vettoriale con le stesse condizioni di $\mathbf {f}$$\mathbf {f}$ qui sopra; allora vale l'uguaglianza:

$$\int _{\tau }({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {v} )d\tau =-\int _{S}(\mathbf {v} \times {\hat {\mathbf {n} }})\,dS$$

$$\int _{\tau }({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {v} )d\tau =-\int _{S}(\mathbf {v} \times {\hat {\mathbf {n} }})\,dS$$

 

Dimostrazione

Prendiamo un genero campo $\mathbf {w} ={\text{cost}}$$\mathbf {w} ={\text{cost}}$. Calcoliamo allora:

$${\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\mathbf {w} \times \mathbf {v} )=\mathbf {v} \cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {w} )-\mathbf {w} \cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {v} )$$

$${\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\mathbf {w} \times \mathbf {v} )=\mathbf {v} \cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {w} )-\mathbf {w} \cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {v} )$$

Poiché $\mathbf {w}$$\mathbf {w}$ è costante, il suo rotore sarà nullo, come il primo membro della somma. Avremo quindi ${\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\mathbf {w} \times \mathbf {v} )=-\mathbf {w} \cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {v} )$${\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\mathbf {w} \times \mathbf {v} )=-\mathbf {w} \cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {v} )$. Integrando entrambi sul volume $\tau$$\tau$:

$$\int _{\tau }{\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\mathbf {w} \times \mathbf {v} )d\tau =-\mathbf {w} \cdot \int _{\tau }({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {v} )d\tau$$

$$\int _{\tau }{\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\mathbf {w} \times \mathbf {v} )d\tau =-\mathbf {w} \cdot \int _{\tau }({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {v} )d\tau$$

Al primo termine applichiamo il teorema della divergenza:

$${\begin{aligned}&\int _{\tau }{\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\mathbf {w} \times \mathbf {v} )d\tau =\int _{S}(\mathbf {w} \times \mathbf {v} )\cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,dS=\\=&\int _{S}(\mathbf {v} \times {\hat {\mathbf {n} }})\cdot \mathbf {w} dS=\mathbf {w} \int _{S}(\mathbf {v} \times {\hat {\mathbf {n} }})\,dS\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}&\int _{\tau }{\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\mathbf {w} \times \mathbf {v} )d\tau =\int _{S}(\mathbf {w} \times \mathbf {v} )\cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,dS=\\=&\int _{S}(\mathbf {v} \times {\hat {\mathbf {n} }})\cdot \mathbf {w} dS=\mathbf {w} \int _{S}(\mathbf {v} \times {\hat {\mathbf {n} }})\,dS\end{aligned}}$$

Poiché $\mathbf {w} ={\text{cost}}$$\mathbf {w} ={\text{cost}}$, otteniamo la tesi.