Durante il corso si fa largo uso del teorema di Gauss, soprattutto nei primi capitoli. Ricordiamo la definizione di divergenza:

La divergenza è uno scalare, e non un vettore, come si nota. Fisicamente, la divergenza indica la presenza di una variazione nella divergenza o convergenza delle linee di campo; questo non vuol dire che campi con linee di campo parallele abbiano divergenza nulla: se queste linee diventano meno intense con la distanza dalla sorgente, la divergenza sarà certamente non nulla. È ovvio che se il campo è costante in tutto lo spazio, la divergenza sarà nulla. Dimostriamo ora matematicamente il teorema di Gauss-Green.
Teorema (di Gauss-Green)
Sia
un dominio semplice, connesso e con frontiera regolare a tratti. Sia
campo vettoriale, con
aperto tale che
. Sia
la normale uscente dal dominio
, allora il flusso del campo attraverso la superficie chiusa del dominio è uguale all'integrale di volume della divergenza del campo, ovvero:

Non è presente ambiguità sul verso della normale: avendo detto che è uscente, essendo una superficie chiusa, è ben definito il versore
. L'utilità di questo teorema è che spesso risolvere integrali di superfici non è semplice, e si può quindi passare a un integrale di volume che, considerata la divergenza (che è una somma di derivate), può risultare più semplice. A volte succede ovviamente il contrario, e quindi si può passare da integrali di volume a integrali di superficie e viceversa a seconda di quale sia più comodo calcolare.
Dimostrazione
La dimostrazione procede per verifica diretta dell'uguaglianza dei due membri. Il primo membro non è da sviluppare molto:

Dobbiamo verificare che il secondo membro è uguale a questo. Questo possiamo riscriverlo come:

Osserviamo che il dominio
è semplice, possiamo scrivere:

Considerando questa costruzione del dominio, l'integrale sulla terza componente diventa:

D'altronde, la superficie di contorno del dominio, se questo è semplice e connesso, è una superficie cartesiana, parametrizzabile come
, e il versore normale è
, quindi l'integrale al secondo membro della terza componente è:

Ovvero gli integrali delle componenti tre sono uguali in entrambi i membri. Poiché il dominio è semplice e connesso, si può ripetere il procedimento per le altre due variabili
e la dimostrazione è conclusa.
Dimostriamo adesso l'identità di Green che consegue dal teorema della divergenza.
Teorema (identità di Green)
Sia
campo vettoriale con le stesse condizioni di
qui sopra; allora vale l'uguaglianza:

Dimostrazione
Prendiamo un genero campo
. Calcoliamo allora:

Poiché
è costante, il suo rotore sarà nullo, come il primo membro della somma. Avremo quindi
. Integrando entrambi sul volume
:

Al primo termine applichiamo il teorema della divergenza:

Poiché
, otteniamo la tesi.