Teorema di Gauss-Green

Durante il corso si fa largo uso del teorema di Gauss, soprattutto nei primi capitoli. Ricordiamo la definizione di divergenza:

La divergenza è uno scalare, e non un vettore, come si nota. Fisicamente, la divergenza indica la presenza di una variazione nella divergenza o convergenza delle linee di campo; questo non vuol dire che campi con linee di campo parallele abbiano divergenza nulla: se queste linee diventano meno intense con la distanza dalla sorgente, la divergenza sarà certamente non nulla. È ovvio che se il campo è costante in tutto lo spazio, la divergenza sarà nulla. Dimostriamo ora matematicamente il teorema di Gauss-Green.

Teorema (di Gauss-Green)

Sia un dominio semplice, connesso e con frontiera regolare a tratti. Sia campo vettoriale, con aperto tale che . Sia la normale uscente dal dominio , allora il flusso del campo attraverso la superficie chiusa del dominio è uguale all'integrale di volume della divergenza del campo, ovvero:

 

Non è presente ambiguità sul verso della normale: avendo detto che è uscente, essendo una superficie chiusa, è ben definito il versore . L'utilità di questo teorema è che spesso risolvere integrali di superfici non è semplice, e si può quindi passare a un integrale di volume che, considerata la divergenza (che è una somma di derivate), può risultare più semplice. A volte succede ovviamente il contrario, e quindi si può passare da integrali di volume a integrali di superficie e viceversa a seconda di quale sia più comodo calcolare.

Dimostrazione

La dimostrazione procede per verifica diretta dell'uguaglianza dei due membri. Il primo membro non è da sviluppare molto:

Dobbiamo verificare che il secondo membro è uguale a questo. Questo possiamo riscriverlo come:

Osserviamo che il dominio è semplice, possiamo scrivere:

Considerando questa costruzione del dominio, l'integrale sulla terza componente diventa:

D'altronde, la superficie di contorno del dominio, se questo è semplice e connesso, è una superficie cartesiana, parametrizzabile come , e il versore normale è , quindi l'integrale al secondo membro della terza componente è:

Ovvero gli integrali delle componenti tre sono uguali in entrambi i membri. Poiché il dominio è semplice e connesso, si può ripetere il procedimento per le altre due variabili e la dimostrazione è conclusa.

 

Dimostriamo adesso l'identità di Green che consegue dal teorema della divergenza.

Teorema (identità di Green)

Sia campo vettoriale con le stesse condizioni di qui sopra; allora vale l'uguaglianza:

 
Dimostrazione

Prendiamo un genero campo . Calcoliamo allora:

Poiché è costante, il suo rotore sarà nullo, come il primo membro della somma. Avremo quindi . Integrando entrambi sul volume :

Al primo termine applichiamo il teorema della divergenza:

Poiché , otteniamo la tesi.

 
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