Soluzione agli esercizi del capitolo 4

Esercizio (4.1)

Consideriamo la situazione in cui il dielettrico è già dentro il condensatore per una parte; sia la lunghezza della parte di lastra tra le armature (figura B4.1); quanto abbiamo visto nella sezione 4.6, il sistema è equivalente a due condensatori in serie, uno nel vuoto con area e un altro con un dielettrico di area . Quindi, la capacità totale del sistema sarà funzione di :

Poiché il sistema è isolato, l'energia sarà calcolabile attraverso l'espressione ; la forza che risucchia il dielettrico sarà :

Il lavoro compiuto dalla forza sarà uguale alla differenza di energia elettrostatica , quindi:

Fig. B4.1
 
Esercizio (4.2)

Per simmetria sferica possiamo subito calcolare il campo utilizzando il teorema di Gauss; tenendo conto che la sfera centrale è un conduttore e al suo interno il campo elettrico è nullo, e che il guscio è connesso a terra, quindi non avrà cariche su di esso, avremo:

Altrove, sarà nullo. Ricaviamo direttamente da questo il campo elettrico . Quindi, il potenziale in tutto lo spazio sarà:

Fig. B4.2

Per le cariche di polarizzazione necessitiamo il campo . Per calcolare , dobbiamo osservare (figura B4.2) che i versori normali alla superficie del dielettrico sono due, entrambi di direzione radiale ma uno, quello al confine con la sfera interna, è entrante, mentre quello al confine col guscio è uscente. In pratica, avremo due diverse densità superficiali di carica polarizzata:

La carica totale di polarizzazione dovuta alle cariche superficiali, in questo caso, non è nulla, perché è variabile. Quindi, questa sarà ed è negativa, in quanto ; in questo sistema particolare, quindi, avremo una non nulla: poiché il dielettrico è globalmente neutro, avremo che , infatti:

 
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