Soluzione agli esercizi del capitolo 3

Esercizio (3.1)

Ci sono diversi modi per risolvere il problema, esaminiamo il più semplice. Basta osservare che sono due condensatori in parallelo, per cui possiamo porlo equivalente a un sistema con un solo condensatore con capacità la somma delle capacità:

Da questa possiamo ricavarci la carica iniziale come ; poiché il sistema è isolato quando i condensatori riprendono il cammino, la carica totale si conserva, quindi la carica alla fine del processo è uguale a , da cui possiamo ricavarci la tensione alla fine del processo come:

Per calcolare le singole cariche sui condensatori osserviamo che , quindi, svolgendo i calcoli otteniamo

Per calcolare la forza totale sul gioco potremmo calcolare le forze dei singoli condensatori come , ma possiamo procedere utilizzando la capacità totale del sistema e porre , da cui:

Per il lavoro, basta osservare che

 
Esercizio (3.2)

Le cariche interne sono in induzione totale con il conduttore, quindi sulle superfici interne delle due cavità si formano due cariche indotte e ; sfruttando il teorema di Gauss, si può anche dimostrare che le cariche sulle superfici restano isolate e quindi non ci sarà alcun contributo dovuto a sulla cavità , e viceversa; poiché il conduttore è globalmente neutro, sulla superficie esterna compare una carica , da cui ricaviamo le tre densità di carica:

Il campo all'esterno del conduttore, che non sia nelle immediate vicinanze, è:

All'interno delle due cavità il campo elettrico è quello generato dalle cariche puntiformi, quindi:

Dove e i rispettivi versori indicano la distanza e la direzione radiale dai centri delle due cavità.

Per calcolare la forza subita dalle cariche, basta osservare che il campo che percepiscono al centro delle cavità è nullo, perché c'è perfetta simmetria sferica, quindi entrambe le forze sono nulle. Inoltre, per la precedente considerazione che non ci sono cariche indotte da sulla superficie e viceversa, concludiamo che tra le due cariche non c'è interazione.

Se le cariche non fossero posizionate esattamente al centro delle cavità e fossero libere di muoversi, queste sentirebbero una forza non nulla verso le pareti interne e collasserebbero su queste, caricando il conduttore. In questa nuova configurazione avremmo , mentre resta invariata; il campo esterno pure resterebbe invariato, mentre quello nelle cavità sarebbe nullo.

Se invece avviciniamo una carica esterna al conduttore, questa induce una carica sulla superficie esterna, che si polarizza in maniera tale che la carica totale della superficie esterna resti e il campo all'interno sia nullo. Per l'effetto della gabbia di Faraday, le cariche all'interno non risentirebbero variazioni o effetti, quindi la prima richiesta resta come prima, con la precisazione che non è più uniforme. Il campo esterno anche varia, per la presenza della carica esterna e della polarizzazione del conduttore, mentre quelli nelle cavità restano costanti; per questo motivo, anche le forze percepite dalle cariche restano nulle.

 
Esercizio (3.3)

Di questo sistema sappiamo innanzitutto che sono a grande distanza, quindi la carica indotta si distribuisce uniformemente sulle superfici delle sfere senza particolari condizioni. Inoltre, abbiamo le seguenti informazioni, dove intende il momento in cui la seconda sfera è collegata a terra e è quando la prima sfera è collegata a terra:

Considerato che sono a grande distanza, possiamo scrivere i loro potenziali come i potenziali generati da una sfera in tutto lo spazio; inoltre, dalle regole dell'induzione, sappiamo anche che:

Dalle informazioni del problema abbiamo che , da cui ricaviamo subito che ; inoltre, alla fine vale , da cui ricaviamo che . Dobbiamo solo trovare i coefficienti di induzione. Utilizzando i potenziali delle sfere, abbiamo:

Vale il rispettivo per ; i coefficienti sono:

Sostituendo, otteniamo il risultato

 
Esercizio (3.4)

Questo esercizio è facilmente risolvibile applicando il concetto di induzione totale. Per induzione totale sulla superficie interna del primo guscio (2) si posiziona una carica , ma sul guscio è presente una carica totale , da cui otteniamo che sulla superficie esterna del primo guscio (2) si posiziona una carica . Come diretta conseguenza, per induzione totale sulla superficie interna del secondo guscio (3) si posiziona una carica , ma sul secondo guscio è presente una carica totale , da cui otteniamo che sulla superficie esterna di (3) si posiziona una carica nulla . Da queste semplici informazioni ricaviamo che il campo elettrico in tutto lo spazio esterno al sistema è nullo, quindi .

Essendo tutti conduttori sferici, possiamo facilmente scrivere i potenziali:

Quindi otteniamo che , e

Per calcolare l'energia del sistema, osserviamo che sono due condensatori in serie, quindi vale ; ricordando l'espressione della capacità di un condensatore sferico calcolata nella sezione 3.5, otteniamo che . Quindi, l'energia totale del sistema è:

 
Esercizio (3.5)
Fig. B3.1

In figura B3.1 lo stato finale del sistema. Come possiamo notare, il sistema è composto da due condensatori in serie, quindi la capacità totale sarà:

La capacità iniziale (senza conduttore) era ; quindi avremo la differenza di capacità:

Per calcolare il lavoro, dobbiamo calcolare la differenza di energia potenziale elettrostatica (in quanto il condensatore è isolato) ; avremo , ; il lavoro compiuto sarà quindi:

Sostituendo a , ricordando che il volume del conduttore inserito è pari a , svolgendo i calcoli algebrici otterremo

 
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