Effetto Doppler relativistico

Si considerino una sorgente che emette un'onda a frequenza e un osservatore in moto rispetto al sistema di riferimento della sorgente con una velocità .

Nel caso di propagazione di un onda elettromagnetica, l'intervallo di tempo sarebbe la distanza tra due massimi del campo elettrico, e corrisponde quindi al tempo proprio di emissione del segnale da parte della sorgente.

Si consideri il problema nel sistema di riferimento della sorgente. Assumendo che un picco di emissione arrivi all'osservatore, il successivo si troverà ad una distanza pari a . Dove è la frequenza di emissione dell'onda.

Il fronte d'onda si propaga con velocità : occorre però considerare anche il moto reciproco tra i due sistemi di riferimento, ovvero il fatto che l'osservatore si stia muovendo con una certa velocità . Segue che . Da cui si ricava

La relazione tra tempo proprio e tempo nel sistema di riferimento dell'osservatore è data da
Da cui si può facilmente ricavare la relazione tra frequenza propria e frequenza vista dall'osservatore, a causa dell'effetto Doppler:
Si può ottenere lo stesso risultato ragionando in termini di velocità e di movimento reciproco della sorgente rispetto all'osservatore. Della velocità si è interessati alla componente verso l'osservatore, sia essa . La sorgente nel tempo si avvicina di uno spazio . Dopo un certo tempo da origine al secondo fronte d'onda. Se stesse ferma il secondo tic parte dallo stesso punto e i due non interferiscono. Tuttavia, in questo caso, nel tempo la sorgente si avvicina, quindi quando lo emette il secondo tic arriva molto prima rispetto al primo.

È possibile quindi ottenere le seguenti relazioni:

La distanza tra due fronti sarà quindi:
Da cui si può ricavare il tempo che intercorre, nel sistema di riferimento dell'osservatore, tra due picchi successivi e, di conseguenza, la frequenza osservata:
Ovviamente la frequenza propria dell'onda è quella misurata dell'osservatore che ha la sorgente fissa davanti a sé.

Verifichiamo ora la plausibilità di questo risultato studiando il limite calssico: se , troviamo la formulazione classica dell'effetto Doppler.

A seconda del segno di si ha lo shift della frequenza verso il rosso () o verso il violetto

().

L'effetto sugli oggetti[modifica | modifica wikitesto]

Dopo aver derivato l'effetto Doppler, possiamo chiederci come vediamo un cubo con velocità che passa davanti a noi.

Sicuramente, per via della sua velocità i lati saranno contratti agli occhi di un osservatore nel sistema del laboratorio. Sappiamo anche che cambierà colore per effetto doppler.

Più nel dettaglio, se pensiamo di vedere il cubo muoversi di fronte a noi da sinistra verso destra, è chiaro che la luce emessa dalla faccia frontale arriverà un po' prima al nostro occhio, ma anche tutta la luce delle facciate laterali emessa ancora prima che ha impiegato il tempo per coprire la distanza laterale più quello per coprire dalla faccia frontale al nostro occhio ci raggiungerà durante il passaggio del cubo.

In sostanza il nostro cervello vedrebbe il cubo come se fosse ruotato, con la faccia frontale più corta, come si trovasse in prospettiva e la faccia laterale esposta. Questo considerando una situazione ben illuminata e senza ombre che tradiscano la reale posizione del cubo.

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