Elementi fondamentali, misura di Lebesgue

Prima di poter parlare di integrale, misure e cosare robe con questi strumenti, abbiamo bisogno di costruire una teoria della misura che possa essere ritenuta tale. In questo capitolo daremo tante definizioni e inizieremo a parlare di misure di insiemi, discutendo ogni punto per renderlo il più chiaro possibile. Iniziamo da una definizione che non è una definizione (attenzione a questo punto, non è davvero una definizione).

Definizione

In questo corso parleremo di misura; per quanto ci riguarda, necessitiamo di poter operare con l'infinito, quindi chiameremo retta estesa quella in cui è considerato al pari di un numero. Questo vuol dire che:

  • una funzione può assumere valore in qualche suo punto, non solo tenderci;
  • degli insiemi possono avere misura infinita.
  • è corretto scrivere un intervallo (per esempio la semiretta positiva) come

Il termine ha delle belle proprietà; la prima è che questo è maggiore di ogni altro numero reale scrivibile in altra forma diversa da . Le operazione con l'infinito sono le seguenti:

Poniamo attenzione all'ultima espressione. resta non vero quando si parla di cose che tendono o , ovvero nelle espressioni di limite è ancora una forma indeterminata. Questa espressione è quindi vera quando i valori e sono fissati e valgono esattamente quello che valgono, non tendono a quel valore.

 

Già con la prima definizione abbia fatto terra bruciata dietro di noi: non dobbiamo dimenticare tutto ciò che abbiamo imparato finora, ma qualcosa deve pur cambiare. Questo non rientrava tra gli elementi utili alla misura, o meglio, non subito; iniziamo con gli iperrettangoli.

Definizione

Chiameremo iperrettangolo un insieme del tipo:

 

Un iperrettangolo non è altro che la moltiplicazione di intervalli; in dimensione uno, ovvero in , questo è semplicemente un intervallo; in sarà un rettangolo, in un parallelepipedo e così via. La misura dell'intervallo è ovviamente .

Definizione

Si definisce plurirettangolo l'unione di più rettangoli disgiunti:

 

Su questo non c'è da discutere molto: presi tanti iperrettangoli, la loro unione è chiamata plurirettangolo. Poiché la misura di un rettangolo la conosciamo (base per altezza), possiamo definire la misura dell'iperrettangolo.

Definizione

Si definisce la misura dell'iperrettangolo:

 

Così come il rettangolo e per il parallelepipedo si misurano moltiplicando le dimensioni, nel caso generale di un iperrettangolo la regola non varia. Siamo adesso pronti per iniziare a definire quelli che, secondo la teoria di Lebesgue, sono insiemi misurabili. Da adesso in poi, tranne dove specificato, per misura intenderemo sempre misura secondo Lebesgue.

Definizione

Siano un insieme aperto e un compatto, con . Si definiscono le misure dei due tipi di insieme:

 

Questo ci inizia a dire qualcosa di importante: tutti gli insiemi aperti e compatti sono misurabili secondo Lebesgue, e la loro misura si approssima con quella del plurirettangolo contenuto nell'aperto o che contiene il compatto. Notiamo come la misura di un aperto può essere , mentre quella di un compatto può essere . Ora definiamo la misura interna ed esterna di un insieme, a partire proprio da questo.

Definizione

Dato , si definiscono misura interna e esterna di secondo Lebesgue:

 

Osserviamo immediatamente che vale . Ora, detto questo, possiamo finalmente parlare di insiemi misurabili. Date le misure interna ed esterna di un insieme, è logico pensare che, quando queste coincidono, abbiamo a che fare esattamente con la misura di quell'insieme, più o meno come l'area delle partizioni inferiori e superiori per Riemann.

Definizione

Un insieme si dice misurabile secondo Lebesgue se la sua misura interna coincide con l'esterna, ovvero:

A volte, indicheremo con la misura n-dimensionale di Lebesgue.

 

A proposito di insiemi misurabili, resta comodo sapere come e quando riconoscere un insieme misurabile da uno non misurabile. Il seguente teorema ci assicura la "misurabilità" di un insieme; non ne forniremo una dimostrazione.

Teorema

Un insieme è misurabile se e solo se per ogni esistono aperto e compatto tali che:

 

Ovvero un insieme sarà misurabile se esisteranno un aperto e un compatto tali che la differenza tra le loro misure è arbitrariamente piccola, ovvero coincide. Abbiamo appena dato una rigorosa definizione di misura, ora non resta che vederne le proprietà.

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