Problema della normalizzazione delle onde piane

Ritorniamo al problema della particella nella scatola. Facciamo tendere , cioè facciamo in modo che il potenziale sia nullo ovunque. L'equazione agli autovalori dell'energia diventa:

Risolvendo si ottengono due soluzioni linearmente indipendenti:

Tutte le soluzioni dell'equazione sono una combinazione lineare delle due. Il problema che sorge è però dovuto alla normalizzazione, infatti

Esistono 3 modi per risolvere il problema:

Imporre delle condizioni al contorno periodiche[modifica | modifica wikitesto]

Anzichè imporre si pongono delle condizioni periodiche su intervalli più piccoli, del tipo

Così facendo, se prendiamo ad esempio l'onda e utilizziamo le condizioni al contorno con :

La condizione di normalizzazione diventa:

Quindi le soluzioni saranno combinazioni lineari delle due funzioni:

Utilizzare pacchetti d'onda[modifica | modifica wikitesto]

Possiamo considerare un'onda piana come un caso speciale di un'onda della forma

Discorso intuitivo : l'onda è un pacchetto infinitamente "piccato". Se lavoriamo invece con una funzione con una funzione molto piccata (ma non tanto quanto la delta di Dirac), possiamo scrivere:

Così facendo la funzione d'onda è una funzione a quadrato sommabile e sussite la condizione di normalizzazione. Notare che in sostanza abbiamo moltiplicato un'onda piana per un picco 'molto largo'. Abbastanza da considerarsi costante. L'incertezza sul momento risulta dell'ordine di:

Se la larghezza del pacchetto è macroscopica, allora l'incertezza sul momento è trascurabile.

Utilizzare la corrente di probabilità[modifica | modifica wikitesto]

Sappiamo che il problema alla base è che un'onda piana non è confinata in nessuna regione finita dello spazio. Ciò significa che la probabilità di trovarla in un punto è nulla. Un modo per aggirare il problema è scrivere la densità di corrente di probabilità, o il flusso dell'onda piana:

Se notiamo, è una velocità, mentre rappresenta invece il numero di particelle per metro che si muovono lungo la direzione x (perchè?). Quindi, immaginando che le particelle si muovano lungo una sola dimensione di lunghezza

In tal modo risulta calcolabile in modo definito.

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