Osservazioni

Ortonormalità delle autofunzioni[modifica | modifica wikitesto]

Possiamo osservare facilmente che le autofunzioni trovate sono ortonomali.

Che ha soluzioni

Quindi si ha che:

Momento medio[modifica | modifica wikitesto]

Calcoliamo il momento medio per ogni autostato:

In media il momento è nullo: infatti per ogni valore dell'energia la particella ha la stessa probabilità di muoversi verso sinistra o verso destra nella scatola. La distribuzione simmetrica rispetto all'origine del momento porta la sua media a 0.

Energia minima o di punto zero[modifica | modifica wikitesto]

Qual è l'energia minima? Non può essere perchè si otterrebbe , mentre la particella deve esistere. Dobbiamo partire quindi da , cioè la cosiddetta Energia del punto zero.

Cerchiamo di dare un'interpretazione fisica all'energia del punto zero. Calcoliamo . Per ogni autostato possiamo calcolarlo dall'autovalore dell'energia, che è definito e quindi (l'energia è tutta cinetica).

Questo ci mostra che non siamo in uno stato stazionario. Il potenziale nullo all'interno della scatola ci permette di calcolare le autofunzioni della funzione d'onda solo in quella zona. All'esterno il potenziale è infinito e la particella lo sente. Essendo un'indicazione di quanto varii nel tempo esso non può essere nullo.

Possiamo quindi calcolare l'indeterminazione sul momento

Mentre l'indeterminazione sulla posizione è la larghezza stessa della scatola cioè . Quindi il principio di Heisenberg in questo caso si scrive

Quindi l'energia di punto zero deriva dal principio di indeterminazione di Heisenberg. La posizione della particella è confinata tra 0 e a. Di conseguenza il momento non può mai essere esattamente determinato, ma deve avere un . Quindi la particella non può mai essere esattamente ferma ( e ).

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Facciamo un esempio per un oggetto di dimensioni macroscopiche: Prendiamo

Quantizzazione del momento[modifica | modifica wikitesto]

L'energia della particella nella scatola è quantizzata, ma il momento è quantizzato? Proviamo a calcolare gli autostati dell'energia con p applicato.

Gli autostati non sono uguali. Inoltre gli operatori hamiltoniano e momento commutano, ma non hanno autostati uguali. Se dunque non è autostato del momento e avendo trovato che , allora il momento deve avere una distribuzione non costante ma continua.

Scriviamo l'autostato nello spazio dei momenti tramite trasformata di Fourier

E vediamo la risoluzione di questi integrali sulle tavole degli integrali
Per cui la probabilità nello spazio dei momenti si ritrova tramite

In sostanza, l'energia è quantizzata, il momento no. Il perchè dipende dal fatto che la particella non è libera.

Parità e simmetria delle soluzioni[modifica | modifica wikitesto]

Notiamo che tutte le soluzioni sono oscillatorie, con una simmetria attorno ad . La funzione è pari rispetto all'origine. Operando una traslazione:


La parità è sempre stata considerata una simmetria. Nel 1963 fu discusso della violazione della parità. Teniamocela da parte; poi lo riprenderemo. Abbiamo solo definito l'operatore parità come l'operatore che manda

Autovalore : funzione pari. Autovalore : funzione dispari.

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