Teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo

Si consideri un sistema fisico descritto da una Hamiltoniana , il cui spettro si suppone completamente noto. Questo sistema fisico è allora detto essere noto con precisione.

Si supponga ora di voler studiare un sistema fisico che può essere descritto da una Hamiltoniana della forma:

con parametro adimensionale piccolo e un operatore di cui sono noti gli elementi di matrice.

Nel caso pratico, accade spesso che il sistema in studio sia descritto da una Hamiltoniana non trattabile, nel senso che non sia facile o possibile diagonalizzare, ma che sia possibile separare in una parte nota (chiamata Hamiltoniana imperturbata) ed una parte non trattabile moltiplicata appunto per un parametro adimensionale. In genere, questo parametro si può estrarre moltiplicando e dividendo opportunamente.

Si denoti con l'autostato relativo all'Hamiltoniana imperturbata con autovalore dell'energia e con una funzione d'onda (autostato sconosciuto) dell'Hamiltoniana completa relativa all'autovalore . Risulta quindi:

Per poter proseguire nello studio dello spettro dell'Hamiltoniana completa, è necessario fare alcune ipotesi.

  • Ipotesi di sviluppabilità degli autovalori. Si suppone che ogni autovalore sia scrivibile come uno sviluppo in serie di potenze di :

Considerare l'autovalore imperturbato come primo termine di questo sviluppo in serie è sensato perché per l'Hamiltoniana si riduce a quella imperturbata e così quindi deve fare l'autovalore;

  • e hanno lo stesso dominio di autoaggiuntezza. Siccome le sono una base di autofunzioni di , questa ipotesi permette di dire che le sono una base anche per e che quindi l'autofunzione dell'Hamiltoniana completa si può scrivere come combinazione lineare di queste autofunzioni:

questa ipotesi sarà utilizzata più avanti. Per ora si farà l'ipotesi che l'autostato sconosciuto sia esprimibile anch'esso in termini di una serie in intorno all'autostato imperturbato:
considerare il primo termine dello sviluppo come l'autofunzione imperturbata, indicato qui con , è ancora una volta sensato perché per l'Hamiltoniana si riduce a quella imperturbata e così devono fare le autofunzioni.

Questi sviluppi in serie prendono il nome di serie perturbative.

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