Introduzione

In questo capitolo si affronterà un argomento fondamentale per approfondire lo studio della meccanica quantistica, la cosiddetta teoria perturbativa.

I sistemi fisici quantistici del mondo reale sono descritti da equazioni differenziali la cui risoluzione pratica è di grande difficoltà, se non addirittua impossibile. Infatti, i sistemi fisici che si possono risolvere in maniera analiticamente esatta sono estremamente pochi: l'oscillatore armonico, l'atomo di idrogeno e la particella in una scatola.

In tutti gli altri casi occorre individuare delle tecniche di calcolo che pur non permettendo di ottenere una soluzione analitica esatta del problema, consentano almeno di ottenere delle soluzioni che descrivino i sistemi reali nel modo più corretto possibile. Queste soluzioni non sono quindi esatte, ma permettono di descrivere il sistema con un sufficiente grado di accuratezza. I risultati ottenuti con questi metodi sono generalmente espressi in termini di serie infinite, che convergono abbastanza rapidamente alla soluzione corretta (e ignota in forma analitica) man mano che ci si arresta ad ordini superiori dello sviluppo.

Concettualmente, i metodi perturbativi si basano sul fatto che è possibile introdurre nella Hamiltoniana che descrive il sistema libero alcuni termini di potenziale perturbativi, cioé abbastanza piccoli rispetto al termine dell'Hamiltoniana libera da essere considerati come una piccola perturbazione e potere quindi essere sviluppati in serie di potenze.

È questo il caso, ad esempio, di un atomo di idrogeno immerso in un campo elettrico (effetto Stark lineare) o in un campo magnetico (effetto Zeeman) e dell'accoppiamento dell'elettrone con il campo magnetico generato da lui stesso nel moto intorno al nucleo (accoppiamento spin-orbita o L-S). Il caso più eclatante è rappresentato forse dall'elettrodinamica quantistica (QED), in cui l'interazione elettrone-fotone è trattata perturbativamente.

Giusto per dare un'idea corretta, occorre dire che esistono anche situazioni in cui la teoria perturbativa non può essere utilizzata perché le interazioni in gioco non sono trascurabili. È appena il caso di accennare che questa è la situazione che si presenta qualora si prenda in considerazione l'interazione forte fra quark e gluoni (QCD) a bassa energia.

Ritornando nell'ambito di questo corso, nel seguito saranno descritti i tre approcci possibili: il caso in cui il potenziale perturbativo è costante nel tempo, il caso in cui questo dipende dal tempo ed infine il metodo variazionale. A rigor di logica quest'ultimo non è un metodo perturbativo propriamente detto, ma lo si può far rientrare in questa categoria per comodità di studio.

Successivo