Caso degenere

Come si è visto, quando la perturbazione tende a 0, l'autostato perturbato del livello deve tendere all'autofunzione dell'Hamiltoniana imperturbata corrispondente . Quando lo stato a cui deve tendere l'autofunzione perturbata è degenere sorge però il problema che l'autostato imperturbato non è ben definito, trattandosi di un sottospazio a dimensione > 1. In questo caso è come se l'autofunzione perturbata “non sapesse” a quale stato ridursi e la procedura descritta in precedenza perde di validità. D'altra parte, siccome esistono in questo caso stati certamente diversi ma che corrispondono allo stesso autovalore, formule che contengano un termine a denominatore perdono evidentemente di significato a meno che gli elementi non siano nulli per appartenenti al sottospazio dell'autovalore e diversi da , ovvero a meno che la perturbazione non sia diagonale nel sottospazio . Questa è la chiave per risolvere la questione.

Innanzitutto è necessario aggiungere un indice, che sarà indicato con , per denotare gli stati degeneri. Si supponga inoltre che l'indice di degenerazione sia . Vale allora:

queste autofunzioni sono certamente ortonormali alle del sottospazio relativo ad un altro autovalore ed è anche possibile sceglierle ortonormali fra loro.[1]

L'ipotesi di espansione in termini di è ancora valida e quindi anche le equazioni, a patto di aggiungere opportunamente una sommatoria sull'indice di degenerazione . Per l'ordine 0 si ottiene quindi:

che permette di concludere banalmente che , ovvero che le autofunzioni sono relative tutte allo stesso autovalore e che le stesse sono quindi esprimibili come combinazioni lineare delle autofunzioni del sottospazio degenere:

Per conservare l'analogia al caso non degenere, si deve esprimere la in termini delle autofunzioni degeneri dell'Hamiltoniana imperturbata:

che sostituite nell'equazione del primo ordine, permettono di scrivere:

Ora , per cui si ha:

ovvero:

Si può ora proiettare questa equazione sullo stato :

Tenendo presente che nel sottospazio degenere risulta ,[2] mentre per autovalori diversi risulta certamente , la prima sommatoria sparisce. Infatti, per il prodotto scalare è nullo e per è il termine che si annulla. Quindi l'equazione precedente si riduce alla seguente:

questa formula rappresenta in realtà un sistema di di equazione nelle incognite , per avere quindi una soluzione diversa da quella banale bisogna imporre che il determinante del sistema sia nullo:

il termine fra parentesi rappresenta infatti una matrice con indici di riga e colonna e . Questo sistema permette di ricavare le correzioni al primo ordine da apportare a ogni autovalore degenere dell'Hamiltoniana imperturbata. Si noti che questa ha la forma di un'equazione secolare ed infatti questo procedimento equivale in pratica a diagonalizzare la perturbazione nel sottospazio degenere.

In linea di principio la perturbazione riesce a risolvere la degenerazione almeno parzialmente, in altre parole ad ogni autovalore degenere corrispondono più correzioni diverse al primo ordine che si riducono a zero – quindi al valore imperturbato – al tendere a zero del parametro . Se le soluzioni sono tutte distinte, allora la perturbazione rimuove completamente la degenerazione.

Riassumendo, quando l'Hamiltoniana è degenere, la strada da seguire per applicare la teoria delle perturbazioni è la seguente:

  • Si sceglie una base di autofunzioni di ,
  • Si scrive l'elemento di matrice ,
  • Si diagonalizza questa matrice nel sottospazio degenere risolvendo l'equazione.
  • Le soluzioni di questa equazione rappresentano le correzioni al primo ordine dell'energia,
  • Gli autovettori diagonalizzati corrispondenti rappresentano le autofunzioni imperturbate da cui partire,
  • Con queste autofunzioni, le correzioni successive al primo ordine hanno la stessa forma del caso non degenere.

Nella pratica, il fatto che l'Hamiltoniana sia degenere significa che esistono degli osservabili che commutano con essa e che permettono di distinguere i vari autostati degeneri. La ricerca di una base di autofunzioni per diagonalizzare la perturbazione può essere quindi guidata da motivazioni fisiche, si può cioé scegliere una base di autofunzioni simultanea di e degli altri osservabili che commutano sia con che con la perturbazione . In questo caso, infatti, la perturbazione risulta già diagonale nel sottospazio degenere. Questo non significa però che è diagonale in tutto lo spazio di Hilbert, che sarebbe in contraddizione con il fatto che e non commutano.

Una nota conclusiva sulla teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo prima di passare ad un esempio concreto.

In generale si dovrebbe applicare sempre la teoria per autovalori degeneri, il caso di autovalore non degenere è in effetti un caso particolare della teoria più generale. Inoltre la correzione in entrambi i casi si può considerare come l'autovalore del termine di perturbazione. Si può sostenere questa affermazione in maniera formale, ma se ne può anche fornire un'argomentazione intuitiva. La correzione all'energia è certamente un'osservabile e dunque deve essere indipendente dalla rappresentazione. Se si rappresentassero gli stati nella base di autofunzioni del termine di perturbazione, sia nel caso di correzione per stati non degeneri che nel caso di correzione per stati degeneri, l'espressione trovata per le correzioni coinciderebbe con la definizione di autovalori del termine di perturbazione.

Ma se la correzione deve essere indipendente dalla rappresentazione questo vuol dire che anche nelle altre rappresentazioni (per esempio nella rappresentazione degli autostati dell'Hamiltoniana imperturbata utilizzata) si stanno calcolando in maniera implicita gli autovalori del termine di perturbazione.

D'altra parte sono poche le caratteristiche di un operatore che sono indipendenti dalla rappresentazione usata, e fra queste ci sono gli autovalori.

In conclusione, la teoria delle perturbazioni conduce in ogni caso alla ricerca degli autovalori del termine di perturbazione (diagonalizzazione).
  1. È senz'altro sempre possibile ortonormalizzarle utilizzando il metodo di Gram-Schmidt.
  2. Perché si è assunto che gli autovettori nel sottospazio degenere siano ortonormalizzati.
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