Oscillatori armonici accoppiati

Consideriamo due oscillatori armonici accoppiati, la cui Hamiltoniana è data da:

Troviamone, innanzitutto, lo spettro, cioè ricaviamo le autofunzioni con le relative energie.

Osserviamo che la quantità tra parentesi tonde può essere vista come una forma quadratica, infatti:

Chiamo

Si può scrivere, allora:

dove è una matrice ortogonale, che verrà ricavata dagli autovettori di , e sono gli autovalori di .

Chiamiamo

per cui si può scrivere anche . Quindi:

e allora l'Hamiltoniana nelle nuove coordinate risulta essere:

Diagonalizziamo, ora, la matrice , in modo da ricavare esplicitamente e , e, di conseguenza, e in funzione di e .

Risolvendo l'equazione secolare:

si trovano gli autovalori e .

Per trovare gli autovettori, invece, osservo che , dove è la matrice identità e è la prima matrice di Pauli, per cui gli autovettori di sono gli stessi di , cioè:

"Accostando" gli autovettori e (importante l'ordine!), si ottiene finalmente la matrice di cambiamento di base:

da cui la trasformazione:

e quindi la forma esplicita dell'Hamiltoniana:

Essa può essere riscritta come , dove:

Queste Hamiltoniane possono essere pensate come quelle di oscillatori armonici monodimensionali di rispettive frequenze e . Per la separabilità di variabili nell'equazione di Schrodinger, e conoscendo già le energie e le autofunzioni dell'oscillatore armonico monodimensionale, si ha che le energie sono le somme delle singole energie, mentre le autofunzioni sono il prodotto delle singole autofunzioni:

dove e sono i polinomi di Hermite parametrizzati rispettivamente dagli interi e .

Si noti che, in tutto il calcolo, si è completamente tralasciata la forma esplicita di e di , perché assolutamente irrilevante ai fini della determinazione di energie e autofunzioni del sistema.

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