Valore atteso di una grandezza. La rappresentazione operatoriale

Secondo l'interpretazione probabilistica della meccanica quantistica, se lo stato del sistema è descritto da una funzione d'onda significa che non si possono attribuire dei valori precisi alle grandezze fisiche, ma solo delle probabilità.

È pertanto importante introdurre il concetto di valore medio, che sarà indicato con . Questo è definito come il rapporto tra il numero di valori ottenuti in un insieme di misure e il numero totale delle misure. Una definizione alternativa, utile quando questo numero è molto grande, è data dalla somma dei valori ottenuti moltiplicati per le rispettive probabilità.

Il valore medio di una grandezza fisica è quindi dato da:[1]

cioé il valore atteso è dato dalla media dei valori possibili pesati con la probabilità di ottenere quel determinato valore. Nel caso di una variabile continua, la probabilità di ottenere un determinato valore è una funzione continua e il valore medio assume la forma:

Nel caso di una particella quantistica, la probabilità di trovare la particella nella regione è data da , per cui il valore medio della coordinata è dato da:

Per l'impulso vale naturalmente una relazione analoga, ovvero:

Trascuriamo per ora la dipendenza temporale e si ponga . Dal teorema di Parseval risulta allora:

scrivendo esplicitamente le trasformate (trascurando i fattori costanti che in questo contesto non interessano e indicando con la trasformata di ):


dove lo scambio di integrazione è lecito se le funzioni appartengono a . Siccome vale:

per cui:

ne consegue allora:

Ricordando ora la definizione di :

e notando che risulta:

si ricava:

che integrata a sua volta per parti fornisce:

il termine è nullo perché e quindi si annulla all'infinito. Siccome vale anche:

ne segue:

moltiplicare la per equivale quindi a derivare la rispetto a :

Alla variabile corrisponde l'operatore derivata rispetto a nello spazio delle . Si preciserà ora questa affermazione.

Abbiamo visto che descrivere il sistema in termini della o in termini della è equivalente, dal momento che dall'una è possibile ricavare l'altra tramite la trasformata di Fourier. Si parla di rappresentazione delle coordinate o delle nel caso si utilizzino le e di rappresentazione degli impulsi o delle (o delle ) nel caso si utilizzino le .

Si noti qui un punto importante: il valore medio della posizione o dell'impulso è rappresentato matematicamente da un operatore lineare applicato alla funzione d'onda. Il valore medio dell'impulso è rappresentato dall'operatore moltiplicazione nella rappresentazione degli impulsi e dalla derivazione rispetto a nella rappresentazione delle coordinate. Un discorso analogo può essere fatto per il valore medio della posizione, giungendo alla conclusione:

  1. Per la precisione non si parla qui di valore medio nel senso di media statistica, ma di valore di aspettazione, detto anche valore atteso. Spesso però qui si userà la dizione “valore medio”.
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