Una dimostrazione generale della relazione di indeterminazione

La relazione di indeterminazione ricavata in Il principio di indeterminazione di Heisemberg era stata introdotta sotto forma di principio da Heisemberg sulla base di motivazioni concrete legate al problema della misura.

È possibile ricavare una forma più generale delle relazioni di indeterminazione a partire dai postulati della meccanica quantistica, e in questo caso le relazioni di indeterminazione assumono la forma di un teorema.

Siano dati due osservabili ${\hat {A}}$$\hat{A}$ e ${\hat {B}}$$\hat{B}$ e si consideri i valori degli scarti quadratici medi:

$$\left(\Delta {\hat {A}}\right)^{2}\left(\Delta {\hat {B}}\right)^{2}=\langle \psi (x)\mid ({\hat {A}}-\langle {\hat {A}}\rangle )^{2}\psi (x)\rangle \langle \psi (x)\mid (\langle {\hat {B}}-{\hat {B}}\rangle )^{2}\psi (x)\rangle$$

$$\left(\Delta \hat{A}\right)^2\left(\Delta \hat{B}\right)^2 = \langle \psi (x)\mid (\hat{A}-\langle \hat{A} \rangle )^2\psi (x)\rangle \langle \psi (x)\mid (\langle \hat{B}-\hat{B} \rangle )^2\psi (x)\rangle$$

e detto ${\tilde {A}}\equiv {\hat {A}}-\langle {\hat {A}}\rangle$$\tilde{A}\equiv \hat{A}-\langle \hat{A} \rangle$, ${\tilde {B}}\equiv {\hat {B}}-\langle {\hat {B}}\rangle$$\tilde{B}\equiv \hat{B}-\langle \hat{B} \rangle$ dalla hermiticità di ${\hat {A}}$$\hat{A}$ e ${\hat {B}}$$\hat{B}$ discende l'ermiticità di ${\tilde {A}}$$\tilde{A}$ e ${\tilde {B}}$$\tilde{B}$. Dalla disuguaglianza di Schwarz si ricava:

$$\lVert {\tilde {A}}\psi (x)\rVert ^{2}\lVert {\tilde {B}}\psi (x)\rVert ^{2}\geq |\langle {\tilde {A}}\psi (x)\mid {\tilde {B}}\psi (x)\rangle |^{2}=|\langle \psi (x)\mid {\tilde {A}}{\tilde {B}}\psi (x)\rangle |^{2}\equiv |z|^{2}\qquad z\in \mathbb {C}$$

$$\lVert \tilde{A}\psi (x) \rVert ^2\lVert \tilde{B}\psi (x) \rVert ^2 \ge | \langle \tilde{A}\psi (x)\mid \tilde{B}\psi (x)\rangle | ^2 = | \langle \psi (x)\mid \tilde{A}\tilde{B}\psi (x)\rangle | ^2 \equiv | z | ^2 \qquad z\in \mathbb {C}$$

ma risulta $|z|^{2}\geq {\frac {1}{4}}|z-z^{\ast }|^{2}$$| z | ^2 \ge \frac{1}{4} | z-z^\ast | ^2$, per cui:

$$\left(\Delta {\hat {A}}\right)^{2}\left(\Delta {\hat {B}}\right)^{2}\geq {\frac {1}{4}}|\langle \psi (x)\mid {\tilde {A}}{\tilde {B}}\psi (x)\rangle -\langle \psi (x)\mid {\tilde {A}}{\tilde {B}}\psi (x)\rangle ^{\ast }|^{2}=$$

$$\left(\Delta \hat{A}\right)^2\left(\Delta \hat{B}\right)^2 \ge \frac{1}{4} | \langle \psi (x)\mid \tilde{A}\tilde{B}\psi (x)\rangle - \langle \psi (x)\mid \tilde{A}\tilde{B}\psi (x)\rangle ^\ast | ^2 =$$

$$={\frac {1}{4}}|\langle \psi (x)\mid {\tilde {A}}{\tilde {B}}\psi (x)\rangle -\langle {\tilde {A}}{\tilde {B}}\psi (x)\mid \psi (x)\rangle |^{2}$$

$$= \frac{1}{4} | \langle \psi (x)\mid \tilde{A}\tilde{B}\psi (x)\rangle - \langle \tilde{A}\tilde{B}\psi (x)\mid \psi (x)\rangle | ^2$$

ed essendo hermitiani:

$$\left(\Delta {\hat {A}}\right)^{2}\left(\Delta {\hat {B}}\right)^{2}\geq {\frac {1}{4}}|\langle \psi (x)\mid {\tilde {A}}{\tilde {B}}\psi (x)\rangle -\langle \psi (x)\mid {\tilde {B}}{\tilde {A}}\psi (x)\rangle |^{2}={\frac {1}{4}}|\langle \psi (x)\mid [{\tilde {A}},{\tilde {B}}]\psi (x)\rangle |^{2}$$

$$\left(\Delta \hat{A}\right)^2\left(\Delta \hat{B}\right)^2 \ge \frac{1}{4} | \langle \psi (x)\mid \tilde{A}\tilde{B}\psi (x)\rangle - \langle \psi (x)\mid \tilde{B}\tilde{A}\psi (x)\rangle | ^2 = \frac{1}{4} | \langle \psi (x)\mid [\tilde{A},\tilde{B}] \psi (x)\rangle | ^2$$

ma $[{\tilde {A}},{\tilde {B}}]=[{\hat {A}},{\hat {B}}]$$[\tilde{A},\tilde{B}] = [\hat{A},\hat{B}]$ per cui:

$${\begin{aligned}\left(\Delta {\hat {A}}\right)_{\psi }^{2}\left(\Delta {\hat {B}}\right)_{\psi }^{2}\geq {\frac {1}{4}}\left|\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle \right|_{\psi }^{2}\end{aligned}}$$

$$\begin{align} \left(\Delta \hat{A}\right)^2_\psi \left(\Delta \hat{B}\right)^2_\psi \ge \frac{1}{4} \left|\langle [\hat{A},\hat{B}] \rangle \right|^2_\psi \end{align}$$

che è la formulazione più generale possibile del principio di indeterminazione. Si vede che nel caso i due osservabili non commutino, il prodotto degli scarti quadratici medi non può mai essere inferiore ad un certo valore. È questo il caso della posizione e dell'impulso, nel qual caso si trova:

$$\left(\Delta {\hat {q}}\right)_{\psi }^{2}\left(\Delta {\hat {p}}\right)_{\psi }^{2}\geq {\frac {1}{4}}\left|[{\hat {q}},{\hat {p}}]\right|^{2}={\frac {\hbar ^{2}}{4}}$$

$$\left(\Delta \hat{q}\right)^2_\psi \left(\Delta \hat{p}\right)_\psi ^2 \ge \frac{1}{4}\left| [\hat{q},\hat{p}] \right|^2 = \frac{\hbar ^2}{4}$$