Separazione delle variabili e degenerazione. Numeri quantici.

Per illustrare il concetto di degenerazione e di numero quantico, consideriamo una buca di potenziale infinita in due dimensioni, per semplicità quadrata di lato e centrata sull'origine:

Detta l'energia, l'equazione di Schrödinger è:

dove la funzione d'onda si deve annullare ai bordi. L'Hamiltoniana del sistema si può scrivere come la somma di due Hamiltoniane ([1]) e risulta:

In base al principio di sovrapposizione dell'equazione di Schrödinger, si può allora considerare una soluzione nella forma:

ovvero come il prodotto di funzioni indipendenti che dipendono da una sola variabile. Da questo segue:

Supponendo che e siano autofunzioni della rispettiva parte di Hamiltoniana:

per la posizione fatta sulla si ricava:

ovvero, il prodotto di due autofunzioni è un'autofunzione appartenente all'autovalore somma degli autovalori. Vale il viceversa:

e dividendo ambedue i membri per :

ne segue che i membri a sinistra devono essere separatamente costanti:[2]

con . Ma questo significa che:

ovvero, e sono autofunzioni agli autovalori e . Questo metodo di ricerca delle soluzioni prende il nome di metodo di separazione delle variabili. Questo non significa che ogni autofunzione sia esprimibile come prodotto di due autofunzioni e infatti questo in genere non è possibile. Tuttavia, le funzioni espresse nella forma costituiscono una base, cioé:

Gli autovalori della buca bidimensionale sono:

la cui somma è un autovalore di :

Si vede in questo caso la cosiddetta degenerazione: diverse combinazioni di e possono dare origine allo stesso autovalore dell'energia. In altri termini, fissato l'autovalore dell'energia, non è possibile da questo risalire ad uno stato quantistico definito. In questo caso specifico, i numeri i cui quadrati hanno la stessa somma danno origine allo stesso autovalore dell'energia:

Ex Ey E
non degenere (1,1) nx=1 ny=1 n=2
2*degenere (2,1) ; (1,2) nx=2 ny=1 n=5
nx=1 ny=2 n=5

Con la buca centrata intorno all'origine le autofunzioni dei primi due livelli sono date da:

A un fissato risulta , dove i coefficienti dipendono da . Quindi:

Una combinazione lineare del tipo:

ha ancora lo stesso autovalore, pur non essendo in forma di prodotto di autofunzioni. Lo spettro di è quindi detto degenere. Se si considerano però i due operatori e , questi commutano e pertanto ammettono una base di autovettori in comune. Questa base in comune permette di ottenere gli autovalori e , dai quali si può quindi ottenere : se si forniscono due osservabili che commutano è possibile rimuovere la degenerazione. Del tutto in generale, però, un insieme di osservabili che commutano riducono solo la degenerazione.

Si definisce insieme di osservabili completo un insieme che ha un unico sistema di autofunzioni in comune. Gli autovalori di questi osservabili sono i cosiddetti numeri quantici, che definiscono univocamente il sistema.
  1. Si noti che questo risulta possibile perché il potenziale stesso è separabile in due componenti indipendenti, una lungo e l'altra lungo .
  2. Il membro a destra è una costante e il membro a sinistra è composto dalla somma di due termini di due variabili diverse e indipendenti.
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