Proprietà dei commutatori

Il concetto di commutatore riveste, come visto, un ruolo fondamentale nella meccanica quantistica. Essi godono delle seguenti proprietà:

L'insieme dei commutatori costituisce quindi un'algebra sugli spazi di Hilbert. Questa è un'algebra di derivazione[1] che ha come prodotto il commutatore.

In base a quanto detto finora, è chiaro che gli operatori che commutano fra di loro rivestono un ruolo importante in meccanica qauntistica. Si consideri ad esempio l'Hamiltoniana e gli operatore impulso e posizione :

in quanto . Per quanto riguarda l'operatore posizione si ha invece:

ovvero, la posizione e l'energia non possono essere misurate contemporaneamente con precisione arbitraria. Si noti che:

Questa relazione è un caso particolare di una relazione più generale:

e ancora più in generale:

Si noti che esiste una forte analogia formale con le parentesi di Poisson della meccanica classica:

ed in particolare posto e :

Se il commutatore di due operatori è nullo, allora anche le corrispondenti parentesi di Poisson sono nulle: significa che gli osservabili che commutano corrispondono alle variabili classiche che possono essere scelte come momenti coniugati nella rappresentazione canonica. In effetti, la formulazione della meccanica quantistica è estremamente simile formalmente a quella della meccanica classica. Si confrontino per esempio le equazioni di Hamilton-Jacobi:

con le corrispondenti quantistiche (Costanti del moto e evoluzione temporale) in (Costanti del moto e evoluzione temporale) .
  1. Ha cioé le stesse proprietà delle derivate.
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