Il concetto di commutatore riveste, come visto, un ruolo fondamentale nella meccanica quantistica. Essi godono delle seguenti proprietà:
![[\hat{A},\hat{A}] =0](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/4704dcc2fae55e583a67b6d288ffba7b414cfe86)
![[\hat{A},\hat{B}] =- [\hat{B},\hat{A}]](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/71751561fdf8eb615f1a5edd7ed2e5acf65e913f)
![[\hat{A},c] =0\quad \forall c \in \mathbb {C}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/2e07ddaa118eeb0543f109cd002c4e22108a727c)
![[\hat{A},\hat{B}+\hat{C}] = [\hat{A},\hat{B}] + [\hat{A},\hat{C}]](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/be593418a3563883dd9e791e02042b8ea2226618)
![[\hat{A},\hat{B}\hat{C}] = [\hat{A},\hat{B}] \hat{C} +\hat{B} [\hat{A},\hat{C}]](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/94fe3dd79614923736049ec244263c6270d19465)
![[\hat{A}, [\hat{B},\hat{C}] ] + [\hat{B}, [\hat{C},\hat{A}] ] + [\hat{C}, [\hat{A},\hat{B}] ] =0](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/814af30c9b10e8eabeae976e22d1d447654dfc99)
L'insieme dei commutatori costituisce quindi un'algebra sugli spazi di Hilbert. Questa è un'algebra di derivazione[1] che ha come prodotto il commutatore.
In base a quanto detto finora, è chiaro che gli operatori che commutano fra di loro rivestono un ruolo importante in meccanica qauntistica. Si consideri ad esempio l'Hamiltoniana
e gli operatore impulso
e posizione
:
![{\displaystyle [\hat{p}^2,\hat{H}] = 0 }](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/2f6b0efa46c417dc1023475cb61ec7741a34c56e)
in quanto
. Per quanto riguarda l'operatore posizione
si ha invece:
![{\displaystyle \begin{align} [\hat{x},\hat{H}] & = \frac{1}{2m} [\hat{x},\hat{p}^2] = \frac{1}{2m}(\hat{x}\hat{p}^2-\hat{p}^2\hat{x}) = \\ & = \frac{1}{2m}(\hat{x}\hat{p}^2-\hat{p}^2\hat{x}+\hat{p}\hat{x}\hat{p}-\hat{p}\hat{x}\hat{p}) = \\ & = \frac{1}{2m}\left( [\hat{x},\hat{p}] \hat{p}+\hat{p} [\hat{x},\hat{p}] \right) = \frac{1}{2m}\cdot 2i\hbar \hat{p} = \\ & =\frac{i\hbar }{m}\hat{p} \end{align}}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/1387c29aee34374fa23ea94e1b46ba47703a6ea0)
ovvero, la posizione e l'energia non possono essere misurate contemporaneamente con precisione arbitraria. Si noti che:
![{\displaystyle [\hat{x},\hat{p}^2] = 2i\hbar \hat{p} = i\hbar \frac{\partial \hat{p}^2}{\partial \hat{p}} }](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/29dcbc09da0f302fd5e81ac3365f0c6931efa7c3)
Questa relazione è un caso particolare di una relazione più generale:
![{\displaystyle [\hat{x},\hat{p}^ n] = ni\hbar \hat{p}^{n-1} = i\hbar \frac{\partial }{\partial \hat{p}} \; \hat{p}^ n \qquad ;\qquad [\hat{p},\hat{x}^ n] = -ni\hbar \hat{x}^{n-1} = -i\hbar \frac{\partial }{\partial \hat{x}} \; \hat{x}^ n }](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/b21c3a9f9f764bc2e6767c543dbc561903b8eebe)
e ancora più in generale:
![{\displaystyle \begin{cases} [\hat{x},F(\hat{x},\hat{p})] = i\hbar \displaystyle \frac{\partial }{\partial \hat{p}} F(\hat{x},\hat{p}) \\[2.5ex] [\hat{p},G(\hat{x},\hat{p})] = -i\hbar \displaystyle \frac{\partial }{\partial \hat{x}} G(\hat{x},\hat{p}) \end{cases} }](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/5003e90cc3945987c677ac61cec261c62d7ed415)
Si noti che esiste una forte analogia formale con le parentesi di Poisson della meccanica classica:
![{\displaystyle \left\{ F(q,p),G(q,p)\right\} = \sum _{i,j}\left[ \frac{\partial F(q,p)}{\partial q_ i} \frac{\partial G(q,p)}{\partial p_ j} - \frac{\partial F(q,p)}{\partial p_ i} \frac{\partial G(q,p)}{\partial q_ j} \right] }](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/edcb8dfa6da77863e6eb59f8fc80f32f7e17e804)
ed in particolare posto
e
:
![{\displaystyle \begin{cases} \left\{ p_ n,G(q,p)\right\} = -\displaystyle \frac{\partial G(q,p)}{\partial q_ h} \\[2.5ex] \left\{ q_ h,G(q,p)\right\} = -\displaystyle \frac{\partial G(q,p)}{\partial p_ n} \\[2.5ex] \left\{ q_ i,p_ j\right\} = \delta _{ij} \end{cases} }](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/eb1d375e3ad79e4e5771909972f2b6d0cc6dd64d)
Se il commutatore di due operatori è nullo, allora anche le corrispondenti parentesi di Poisson sono nulle: significa che gli osservabili che commutano corrispondono alle variabili classiche che possono essere scelte come momenti coniugati nella rappresentazione canonica. In effetti, la formulazione della meccanica quantistica è estremamente simile formalmente a quella della meccanica classica. Si confrontino per esempio le equazioni di Hamilton-Jacobi:
![{\displaystyle \begin{cases} \dot{q}_ i = \displaystyle \frac{\partial H}{\partial p_ i} \\[2.5ex] \dot{p}_ i = -\displaystyle \frac{\partial H}{\partial q_ i} \end{cases} }](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/f3ef656ae54a2b541df6aa17b3a63c040d5d69ee)
con le corrispondenti quantistiche (
Costanti del moto e evoluzione temporale) in (
Costanti del moto e evoluzione temporale) .
- ↑ Ha cioé le stesse proprietà delle derivate.