Proprietà dei commutatori

Il concetto di commutatore riveste, come visto, un ruolo fondamentale nella meccanica quantistica. Essi godono delle seguenti proprietà:

1. $[{\hat {A}},{\hat {A}}]=0$$[\hat{A},\hat{A}] =0$
2. $[{\hat {A}},{\hat {B}}]=-[{\hat {B}},{\hat {A}}]$$[\hat{A},\hat{B}] =- [\hat{B},\hat{A}]$
3. $[{\hat {A}},c]=0\quad \forall c\in \mathbb {C}$$[\hat{A},c] =0\quad \forall c \in \mathbb {C}$
4. $[{\hat {A}},{\hat {B}}+{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {B}}]+[{\hat {A}},{\hat {C}}]$$[\hat{A},\hat{B}+\hat{C}] = [\hat{A},\hat{B}] + [\hat{A},\hat{C}]$
5. $[{\hat {A}},{\hat {B}}{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {B}}]{\hat {C}}+{\hat {B}}[{\hat {A}},{\hat {C}}]$$[\hat{A},\hat{B}\hat{C}] = [\hat{A},\hat{B}] \hat{C} +\hat{B} [\hat{A},\hat{C}]$
6. $[{\hat {A}},[{\hat {B}},{\hat {C}}]]+[{\hat {B}},[{\hat {C}},{\hat {A}}]]+[{\hat {C}},[{\hat {A}},{\hat {B}}]]=0$$[\hat{A}, [\hat{B},\hat{C}] ] + [\hat{B}, [\hat{C},\hat{A}] ] + [\hat{C}, [\hat{A},\hat{B}] ] =0$

L'insieme dei commutatori costituisce quindi un'algebra sugli spazi di Hilbert. Questa è un'algebra di derivazione che ha come prodotto il commutatore.

In base a quanto detto finora, è chiaro che gli operatori che commutano fra di loro rivestono un ruolo importante in meccanica qauntistica. Si consideri ad esempio l'Hamiltoniana ${\hat {H}}$$\hat{H}$ e gli operatore impulso ${\hat {p}}$$\hat{p}$ e posizione ${\hat {x}}$$\hat{x}$:

$$[{\hat {p}}^{2},{\hat {H}}]=0$$

$$[\hat{p}^2,\hat{H}] = 0$$

in quanto ${\hat {H}}={\hat {p}}^{2}/2m$$\hat{H}=\hat{p}^2/2m$. Per quanto riguarda l'operatore posizione ${\hat {x}}$$\hat{x}$ si ha invece:

$${\begin{aligned}[{\hat {x}},{\hat {H}}]&={\frac {1}{2m}}[{\hat {x}},{\hat {p}}^{2}]={\frac {1}{2m}}({\hat {x}}{\hat {p}}^{2}-{\hat {p}}^{2}{\hat {x}})=\\&={\frac {1}{2m}}({\hat {x}}{\hat {p}}^{2}-{\hat {p}}^{2}{\hat {x}}+{\hat {p}}{\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}}{\hat {p}})=\\&={\frac {1}{2m}}\left([{\hat {x}},{\hat {p}}]{\hat {p}}+{\hat {p}}[{\hat {x}},{\hat {p}}]\right)={\frac {1}{2m}}\cdot 2i\hbar {\hat {p}}=\\&={\frac {i\hbar }{m}}{\hat {p}}\end{aligned}}$$

$$\begin{align} [\hat{x},\hat{H}] & = \frac{1}{2m} [\hat{x},\hat{p}^2] = \frac{1}{2m}(\hat{x}\hat{p}^2-\hat{p}^2\hat{x}) = \\ & = \frac{1}{2m}(\hat{x}\hat{p}^2-\hat{p}^2\hat{x}+\hat{p}\hat{x}\hat{p}-\hat{p}\hat{x}\hat{p}) = \\ & = \frac{1}{2m}\left( [\hat{x},\hat{p}] \hat{p}+\hat{p} [\hat{x},\hat{p}] \right) = \frac{1}{2m}\cdot 2i\hbar \hat{p} = \\ & =\frac{i\hbar }{m}\hat{p} \end{align}$$

ovvero, la posizione e l'energia non possono essere misurate contemporaneamente con precisione arbitraria. Si noti che:

$$[{\hat {x}},{\hat {p}}^{2}]=2i\hbar {\hat {p}}=i\hbar {\frac {\partial {\hat {p}}^{2}}{\partial {\hat {p}}}}$$

$$[\hat{x},\hat{p}^2] = 2i\hbar \hat{p} = i\hbar \frac{\partial \hat{p}^2}{\partial \hat{p}}$$

Questa relazione è un caso particolare di una relazione più generale:

$$[{\hat {x}},{\hat {p}}^{n}]=ni\hbar {\hat {p}}^{n-1}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial {\hat {p}}}}\;{\hat {p}}^{n}\qquad ;\qquad [{\hat {p}},{\hat {x}}^{n}]=-ni\hbar {\hat {x}}^{n-1}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial {\hat {x}}}}\;{\hat {x}}^{n}$$

$$[\hat{x},\hat{p}^ n] = ni\hbar \hat{p}^{n-1} = i\hbar \frac{\partial }{\partial \hat{p}} \; \hat{p}^ n \qquad ;\qquad [\hat{p},\hat{x}^ n] = -ni\hbar \hat{x}^{n-1} = -i\hbar \frac{\partial }{\partial \hat{x}} \; \hat{x}^ n$$

e ancora più in generale:

$${\begin{cases}[{\hat {x}},F({\hat {x}},{\hat {p}})]=i\hbar \displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\hat {p}}}}F({\hat {x}},{\hat {p}})\\[2.5ex][{\hat {p}},G({\hat {x}},{\hat {p}})]=-i\hbar \displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\hat {x}}}}G({\hat {x}},{\hat {p}})\end{cases}}$$

$$\begin{cases} [\hat{x},F(\hat{x},\hat{p})] = i\hbar \displaystyle \frac{\partial }{\partial \hat{p}} F(\hat{x},\hat{p}) \\[2.5ex] [\hat{p},G(\hat{x},\hat{p})] = -i\hbar \displaystyle \frac{\partial }{\partial \hat{x}} G(\hat{x},\hat{p}) \end{cases}$$

Si noti che esiste una forte analogia formale con le parentesi di Poisson della meccanica classica:

$$\left\{F(q,p),G(q,p)\right\}=\sum _{i,j}\left[{\frac {\partial F(q,p)}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial G(q,p)}{\partial p_{j}}}-{\frac {\partial F(q,p)}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial G(q,p)}{\partial q_{j}}}\right]$$

$$\left\{ F(q,p),G(q,p)\right\} = \sum _{i,j}\left[ \frac{\partial F(q,p)}{\partial q_ i} \frac{\partial G(q,p)}{\partial p_ j} - \frac{\partial F(q,p)}{\partial p_ i} \frac{\partial G(q,p)}{\partial q_ j} \right]$$

ed in particolare posto $F(q,p)=p_{n}$$F(q,p)=p_ n$ e $F(q,p)=q_{h}$$F(q,p)=q_ h$:

$${\begin{cases}\left\{p_{n},G(q,p)\right\}=-\displaystyle {\frac {\partial G(q,p)}{\partial q_{h}}}\\[2.5ex]\left\{q_{h},G(q,p)\right\}=-\displaystyle {\frac {\partial G(q,p)}{\partial p_{n}}}\\[2.5ex]\left\{q_{i},p_{j}\right\}=\delta _{ij}\end{cases}}$$

$$\begin{cases} \left\{ p_ n,G(q,p)\right\} = -\displaystyle \frac{\partial G(q,p)}{\partial q_ h} \\[2.5ex] \left\{ q_ h,G(q,p)\right\} = -\displaystyle \frac{\partial G(q,p)}{\partial p_ n} \\[2.5ex] \left\{ q_ i,p_ j\right\} = \delta _{ij} \end{cases}$$

Se il commutatore di due operatori è nullo, allora anche le corrispondenti parentesi di Poisson sono nulle: significa che gli osservabili che commutano corrispondono alle variabili classiche che possono essere scelte come momenti coniugati nella rappresentazione canonica. In effetti, la formulazione della meccanica quantistica è estremamente simile formalmente a quella della meccanica classica. Si confrontino per esempio le equazioni di Hamilton-Jacobi:

$${\begin{cases}{\dot {q}}_{i}=\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\\[2.5ex]{\dot {p}}_{i}=-\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\end{cases}}$$

$$\begin{cases} \dot{q}_ i = \displaystyle \frac{\partial H}{\partial p_ i} \\[2.5ex] \dot{p}_ i = -\displaystyle \frac{\partial H}{\partial q_ i} \end{cases}$$

con le corrispondenti quantistiche (Costanti del moto e evoluzione temporale) in (Costanti del moto e evoluzione temporale) .