Osservabili

$$<{\mathcal {A}}>_{\psi }=\sum a_{n}P_{\psi }(a_{n})$$

$$<\mathcal{A}>_{\psi} = \sum a_n P_{\psi}(a_n)$$

Ad ogni osservabile è associato un'operatore con autovalori e autovettori:

$${\mathcal {A}}|n>=a_{n}|n>$$

$$\mathcal{A}|n> = a_n |n>$$

Per P(x) dove trovare sviluppo su una base:

$$\psi >=\sum c_{n}|n>\ \to \ <\psi |=\sum c_{m^{*}}<n|$$

$$\psi> = \sum c_n |n>\ \to \ <\psi| = \sum c_{m^*} <n|$$

$$P(a_{n})=|c_{n}|^{2}=|<n|\psi >|^{2}$$

$$P(a_n) = |c_n|^2 = |<n|\psi>|^2$$

$$<{\mathcal {A}}>_{\psi }=\sum _{m,n}c_{m^{*}}c_{n}<m|{\mathcal {A}}|n>=\sum _{n}a_{n}|c_{n}|^{2}=\sum _{n}a_{n}P(a_{n})$$

$$<\mathcal{A}>_{\psi} = \sum_{m,n} c_{m^*}c_{n}<m|\mathcal{A}|n> = \sum_n a_n |c_n|^2 = \sum_n a_n P(a_n)$$

$${\hat {x}}:\ {\hat {x}}=<\psi |{\hat {x}}|\psi >=\int dx\ \psi ^{*}x\psi (x)=\int dxx|\psi (x)|^{2}$$

$$\hat x:\ \hat x = <\psi|\hat x|\psi> = \int dx\ \psi^{*} x \psi(x) = \int dx x |\psi(x)|^2$$

$${\begin{array}{lcl}\displaystyle {\hat {p}}:\,{\hat {p}}&=&<\psi |{\hat {p}}|\psi >=\int dx\ \psi ^{*}\left(-i\hbar {\frac {d\psi }{dx}}\right)\\&=&\int dp\,\psi ^{*}\left(-i\hbar {\frac {d\psi }{dx}}\right)\\&=&\int dp\,{\hat {\psi }}^{*}(p)\ p\ {\hat {\psi }}(p)\\&=&\int dp\,p|{\hat {\psi }}(p)|^{2}\end{array}}$$

$$\begin{array} {lcl} \displaystyle \hat p:\, \hat p &=& <\psi|\hat p|\psi> = \int dx\ \psi^{*} \left(-i\hbar \frac{d\psi}{dx} \right) \\ & =& \int dp\, \psi^{*} \left(-i\hbar \frac{d\psi}{dx} \right)\\ & =& \int dp\, \hat \psi^{*}(p)\ p \ \hat \psi(p) \\ & =& \int dp\, p |\hat \psi(p)|^2 \end{array}$$

$$<{\hat {f}},{\hat {g}}>=<f,g>\ \Rightarrow \ <\ ,\left(-i\hbar {\frac {d\psi }{dx}}\right)>=p\ {\hat {\psi }}(p)\Rightarrow {\hat {p}}=\left(-i\hbar {\frac {d}{dx}}\right)$$

$$<\hat f, \hat g> = < f,g>\ \Rightarrow \ <\ , \left(-i\hbar \frac{d\psi}{dx} \right)> = p \ \hat \psi(p) \Rightarrow \hat p = \left(-i\hbar \frac{d}{dx} \right)$$

La varianza di ${\mathcal {A}}$$\mathcal{A}$ è definita come:

$$\Delta {\mathcal {A}}={\sqrt {<{\mathcal {A}}^{2}>-<{\mathcal {A}}>^{2}}}$$

$$\Delta \mathcal{A} = \sqrt{<\mathcal{A}^2>-<\mathcal{A}>^2}$$

Osservabili compatibili

Definizione: Un insieme di osservabili ${\mathcal {A_{i}}}$$\mathcal{A_i}$ si dicono compatibili se per $i=1,2..n$$i=1,2..n$

$$[{\mathcal {A}}_{i},{\mathcal {A}}_{j}]=0\ \forall i,j$$

$$[\mathcal{A}_i,\mathcal{A}_j] = 0 \ \forall i,j$$

Teorema:

Se $[{\mathcal {A}},{\mathcal {B}}]=0$$[\mathcal{A},\mathcal{B}] = 0$ , esiste una base di autovettori nello spazio di Hilbert, comune ad entrambi gli operatori. Sia $|np>=\{\lambda _{1}\dots \lambda _{n}\}$$|np> = \{\lambda_1\dots\lambda_n\}$, l'insieme degli autovettori, allora:

$${\mathcal {A}}|np>=a_{p}|np>$$

$$\mathcal{A} |np> = a_p |np>$$

$${\mathcal {B}}|np>=b_{n}|np>$$

$$\mathcal{B} |np> = b_n |np>$$

Per il teorema spettrale, possiamo considerarla una base di autovettori Se gli operatori commutano, allora anche $A|n>$$A|n>$ è autovettore di ${\mathcal {B}}$$\mathcal{B}$ con lo stesso autovalore. Infatti:

$${\mathcal {B}}(A|n>)={\mathcal {A}}(B|n>)={\mathcal {A}}(b_{n}|n>)=b_{n}({\mathcal {A}}|n>)$$

$$\mathcal{B}(A|n>) = \mathcal{A}(B|n>) = \mathcal{A}(b_n |n>) = b_n (\mathcal{A}|n>)$$

Nella base |n>, la matrice che rappresenta ${\mathcal {B}}$$\mathcal{B}$ è diagonale:

$${\mathcal {B}}={\begin{pmatrix}b_{1}&0&\cdots &0\\0&b_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &b_{n}\end{pmatrix}}$$

$$\mathcal B = \begin{pmatrix} b_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & b_{2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & b_{n} \end{pmatrix}$$

Supponiamo che la matrice sia a blocchi. Quelli distrinti sono sopra. Se l'autospazio ha dimensione-1 $A|1>a_{1}|1>$$A|1> a_1 |1>$ Se la matrice ${\mathcal {B}}$$\mathcal{B}$ è fatta di |b_n> distinti, ${\mathcal {A}}$$\mathcal A$ sarebbe pure lei diagonale. Se ${\mathcal {B}}$$\mathcal{B}$ è degenere, devo aggiungere altro indice:

$${\mathcal {B}}|np>=b_{n}|np>$$

$$\mathcal{B} |np> = b_n |np>$$

$${\mathcal {A}}|np>=\sum _{p}'a_{pp'}|np>$$

$$\mathcal{A} |np> = \sum_p' a_{pp'} |np>$$

$${\mathcal {A}}_{n}={\mathcal {U}}{\bigl (}{\begin{smallmatrix}\lambda _{1}&0\\0&\lambda _{2}\end{smallmatrix}}{\bigr )}{\mathcal {U}}^{-1}$$

$$\mathcal{A}_n = \mathcal{U} \bigl(\begin{smallmatrix} \lambda_1&0\\ 0&\lambda_2 \end{smallmatrix} \bigr) \mathcal{U}^{-1}$$

\begin{cases} \mathcal{A} |np> = a_p |np> \\\ \mathcal{B} |np> = b_n |np> \end{cases}

$${\mathcal {A}}|npi>=a_{p}|npi>\quad {\mathcal {B}}|npi>=b_{n}|npi>$$

$${\mathcal {A}}|npi>=a_{p}|npi>\quad {\mathcal {B}}|npi>=b_{n}|npi>$$

Interpretazione fisica

Le osservabili compatibili si possono osservare simultaneamente

Esempio: ${\hat {x}},\ {\hat {p}}$$\hat x,\ \hat p$ non appartengono a questa categoria. L e E potrebbero esserlo.