
Ad ogni osservabile è associato un'operatore con autovalori e autovettori:

Per P(x) dove trovare sviluppo su una base:






La varianza di
è definita come:

Definizione: Un insieme di osservabili
si dicono compatibili se per
![{\displaystyle [\mathcal{A}_i,\mathcal{A}_j] = 0 \ \forall i,j }](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/322c1517e12f186778086ee962f2cff8943ccb0b)
Teorema:
Se
, esiste una base di autovettori nello spazio di Hilbert, comune ad entrambi gli operatori. Sia
, l'insieme degli autovettori, allora:


Per il teorema spettrale, possiamo considerarla una base di autovettori
Se gli operatori commutano, allora anche
è autovettore di
con lo stesso autovalore. Infatti:

Nella base |n>, la matrice che rappresenta
è diagonale:

Supponiamo che la matrice sia a blocchi. Quelli distrinti sono sopra.
Se l'autospazio ha dimensione-1
Se la matrice
è fatta di |b_n> distinti,
sarebbe pure lei diagonale. Se
è degenere, devo aggiungere altro indice:



\begin{cases} \mathcal{A} |np> = a_p |np> \\\
\mathcal{B} |np> = b_n |np>
\end{cases}

Le osservabili compatibili si possono osservare simultaneamente
Esempio:
non appartengono a questa categoria.
L e E potrebbero esserlo.