Operatori Hermitiani e osservabili. L'apparato formale della teoria

Si consideri l'operatore associato alla quantità di moto nella rappresentazione delle coordinate:

Il valore medio dell'impulso è dato quindi da:

integrando per parti questa relazione si trova:

ovvero:

Si consideri un generico operatore , risulta per definizione di operatore aggiunto:[1]

Un operatore che goda della proprietà di coincidere con il suo aggiunto , è definito autoaggiunto o hermitiano.[2] L'operatore , e analogamente l'operatore , sono dunque hermitiani.

Si considerino due operatori e :

da cui:

ne consegue che la combinazione di due operatori è hermitiana solo se e commutano oltre che essere hermitiani.

Si noti a questo punto che una funzione d'onda determina univocamente uno stato fisico, ma uno stato fisico non determina univocamente una funzione d'onda . Infatti, se determina uno stato , allora anche , determina lo stesso stato. Si parla in questo caso di una corrispondenza proiettiva.

Nello spazio del sistema è definibile un prodotto scalare:

che permette immediatamente di introdurre una norma definita positiva:

In questi termini, il valore medio di un operatore sullo stato è dato da:

L'insieme delle funzioni costituisce dunque uno spazio lineare, denominato spazio di Hilbert.

Si ricaveranno ora alcune proprietà estremamente importanti degli operatori associati alle grandezze fisiche.

Se ripetendo più volte una misura si ottiene sempre lo stesso risultato, significa che lo scarto quadratico deve essere nullo: . Quindi:

ovvero:

nell'ipotesi che sia hermitiano si ha . Quindi:

il che implica ,[3] ovvero deve essere parallelo a . Ma per essere parallelo deve risultare , ed in particolare:

cioé se una misura fornisce con certezza un risultato a allora la funzione d'onda deve essere un autostato dell'operatore con autovalore a'. Siccome l'autovalore rappresenta il risultato di una misura fisica, esso deve essere un numero reale e questo implica che l'operatore sia hermitiano:

ovvero se deve essere , allora deve essere hermitiano. Ad una grandezza fisica misurabile è associato un operatore hermitiano detto osservabile i cui autovalori (spettro dell'operatore) rappresentano i possibili esiti della misura. Tuttavia, una volta fissato il valore dell'autovalore , in genere lo stato non è ben determinato, infatti possono esistere diversi stati (vettori nello spazio di Hilbert) linearmente indipendenti relativi allo stesso autovalore:

in questo caso l'operatore è detto essere degenere.

Si considerino ora due autostati dell'operatore hermitiano relativi a due autovalori distinti:

moltiplicando scalarmente a sinistra le due relazioni rispettivamente per e :

il complesso coniugato della seconda relazione fornisce ( e ):

ma ancora, grazie all'hermiticità di , e sottraendo le due equazioni si ritrova:

e siccome per ipotesi gli autovalori sono distinti, deve risultare , ovvero autofunzioni hermitiane relative ad autovalori distinti sono ortogonali. Se invece l'operatore è degenere, le autofunzioni non sono necessariamente ortogonali anche se sono indipendenti. Possono però essere ortogonalizzate, ad esempio con il procedimento di ortonormalizzazione Gram-Schmidt:[4]

Naturalmente, lo stato di un sistema non è necessariamente un autostato di un osservabile . Tuttavia, scelta una base di autofunzioni relative agli autovalori dell'operatore , lo stato del sistema sarà sicuramente esprimibile come combinazione lineare di autostati:[5]

Si supponga ora per semplicità avere una base di due autofunzioni e e che quindi lo stato sia espresso dalla combinazione lineare . Questa combinazione lineare non è naturalmente essa stessa un'autofunzione:[6]

siccome però lo stato deve essere normalizzato, deve risultare:

Il valore medio dell'osservabile in questo stato normalizzato è dato da:

tenendo conto dell'ortonormalità degli stati. Ma il valore medio di un operatore è dato dalla media dei possibili valori pesata per le probabilità di ottenere un determinato valore , ne consegue:

ovvero i possibili risultati di una misura descritta dell'osservabile sono dati dai suoi autovalori, i moduli quadri dei coefficienti dello sviluppo della funzione d'onda in una base ortonormale di autostati relative all'osservabile rappresentano invece le probabilità di ottenere l'autovalore come risultato di una misura.

Se lo stato del sistema non è scrivibile come combinazione lineare di autostati dell'osservabile , allora si postula che:

ed in questo senso l'uguaglianza dello sviluppo non deve essere intesa in modo puntuale, ma nel senso di media quadratica:

Si supponga assegnato lo stato . Risulta allora:

ovvero il prodotto scalare della funzione d'onda rappresentante lo stato e un vettore della base ortonormale fornisce il relativo coefficiente dello sviluppo nella detta base. In sostanza:

Se l'insieme è completo, da questa relazione segue immediatamente:[7]

da cui la:

sotto la condizione di ortonormalità:

Il postulato fondamentale è quindi che ad ogni osservabile fisico corrisponde un insieme di autofunzioni completo e ortonormale.

Si vedrà ora in quali condizioni due osservabili possono avere entrambi un valore preciso su un determinato stato . Se due osservabili hanno un valore preciso, significa evidentemente che la funzione d'onda deve essere un autostato simultaneo di entrambi gli osservabili:

operando rispettivamente con e :

sottraendo membro a membro e considerando che e sono numeri:

ovvero:

quindi due osservabili possono avere un valore definito su uno stato se i due operatori commutano. In altre parole, se due osservabili commutano, uno stato può essere autofunzione contemporaneamente dei due operatori. Si noti che questa è una condizione necessaria, ma non strettamente sufficiente.

Si supponga infatti che sia verificato:

dalla relazione sul commutatore si deduce che:

dunque:

che ammette come soluzioni e , ovvero che è autostato di con autovalore 0 oppure appartiene al sottospazio di dell'autovalore . Quindi, se e commutano, non si può dire con sicurezza se sia o meno autostato di , ma certamente appartiene al sottospazio relativo a . Nel caso sia non degenere, allora il sottospazio ha dimensione uno e deve essere anche autostato di .[8]

Anche se i due operatori e commutano, un autostato dell'uno non è necessariamente un autostato dell'altro. Essi hanno però un sistema di autofunzioni in comune. Si supponga:

e si scriva lo sviluppo dell'autofunzione di in termini di autofunzioni di :

e si consideri la funzione . Queste funzioni sono autofunzioni di relative ad autovalori distinti, infatti . Si consideri dunque la somma delle :

ma questo è impossibile perché le appartengono ad autovalori distinti, per cui deve essere , ovvero:

ovvero, le sono autofunzioni anche di .
  1. L'aggiunto di un operatore è la generalizzazione del concetto di trasposto coniugato nell'ambito delle matrici e si indica con .
  2. E la matrice che li rappresenta è simmetrica e reale.
  3. Generalmente risulta
  4. Questo procedimento consiste in pratica nel sottrarre da ogni vettore di base la proiezione su tutti gli altri vettori della base.
  5. Al limite, il numero di autofunzioni nello sviluppo può essere infinito, se la dimensione dello spazio vettoriale è infinita.
  6. Tranne nel caso in cui i due autovalori siano identici, ovvero nella base del sottospazio degenere relativo all'autovalore .
  7. Si lascia volontariamente non specificato l'estremo superiore della sommatoria, in quanto questa può essere finita o no.
  8. Sull'operatore parità e l'Hamiltoniana. Ogni autostato dell'Hamiltoniana è anche un autostato dell operatore parità , poiché risulta:
    l'operatore parità è però degenere in quanto e , dunque non necessariamente un autostato di è anche un autostato dell'Hamiltoniana.
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