Note riassuntive sulla struttura formale della teoria

In questo paragrafo diamo un quadro riassuntivo della struttura formale della meccanica quantistica e sul modo matematico con cui rappresenta i sistemi fisici.

  • Ad ogni sistema fisico si associa uno spazio di Hilbert .
  • Lo stato di un sistema fisico è rappresentato da un vettore normalizzato di questo spazio (funzione d'onda), ed è la descrizione più esauriente possibile permessa da questo sistema formale.
  • Le operazioni di misura sono rappresentate da operatori hermitiani di proiezione (osservabili) che agiscono su questi vettori (funzioni d'onda).
  • Alcuni osservabili non commutano fra loro: la conseguenza è che le grandezze fisiche rappresentate da questi osservabili non possono essere misurare entrambe con precisione arbitraria contemporaneamente (principio di indeterminazione). È bene notare che l'errore implicito nella relazione di indeterminazione non deriva dalle grandezze in sé o da un problema statistico, ma dall'atto di misurarle simultaneamente.
  • I soli risultati possibili di una misura sono i valori dello spettro dell'operatore hermitiano associato all'operazione di misura.
  • Nel caso lo spettro dell'operatore sia discreto, allora i soli risultati possibili della misura sono dati dagli autovalori dell'operatore.
  • Si postula che il sistema di autovettori relativo all'operatore sia un sistema ortonormale completo: in altri termini, si postula che ogni vettore dello spazio di Hilbert associato al sistema sia esprimibile come combinazione lineare di autovettori relativi all'operatore . Nel caso di sistemi a più dimensioni, si assume che il sistema costituito dai prodotti delle singole autofunzioni unidimensionali costituisca una base.
  • I coefficienti dello sviluppo rappresentano quindi le probabilità di ottenere il relativo autovalore come risultato di una misura: . La probabilità dell'esito di una misura è il massimo di informazione che può fornire la teoria.
  • Se una misura fornisce come risultato il valore , allora – nel momento della misura – la funzione d'onda viene istantaneamente proiettata nel sottospazio di relativo all'autovalore , ovvero viene trasformato istantaneamente nell'autofunzione relativa all'autovalore . È questo il cosiddetto postulato della riduzione del pacchetto d'onda, uno dei punti più controversi della meccanica quantistica.
  • L'evoluzione temporale del sistema è espressa dall'equazione di Schrödinger:

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