La trasformata di Fourier. La funzione d'onda per l'impulso

Sia una funzione d'onda. La relazione:

definisce la cosiddetta trasformata di Fourier della .[1] Questa relazione può essere invertita:

che definisce l'antitrasformata di Fourier della .[2] Come si vede, le due trasformazioni sono l'una l'inversa dell'altra.

Questa coppia di trasformazioni è vera se una delle due funzioni appartiene a , in questo caso si può dimostrare che anche l'altra appartiene a . Risulta quindi:

La trasformata di Fourier si indica con . Una proprietà essenziale delle trasformate di Fourier è il cosiddetto teorema di Parseval:[3]

Siccome lo spazio è dotato di una norma definita da:

se si pone nel teorema di Parseval , si ricava che la norma è conservata dalla trasformata di Fourier. Questa proprietà è importante per quanto segue.

Nell'interpretazione di de Broglie l'impulso di una particella è dato da e ad un numero d'onda definito (come nel caso delle onde monocromatiche) corrisponde un momento definito. In un pacchetto d'onda non si ha invece una sola onda monocromatica, ma una sovrapposizione: risulta pertanto naturale associare il termine , che pesa il contributo delle onde che costituiscono il pacchetto, alla probabilità di trovare una particella di impulso . Di conseguenza, nell'interpretazione probabilistica si ha:

Il teorema di Parseval garantisce che la norma delle due distribuzioni di probabilità è la stessa e quindi la costante di normalizzazione è unica. Da notare inoltre che la funzione è completamente determinata dalla , quindi la funzione d'onda fornisce sia la probabilità della posizione che dell'impulso. La funzione d'onda permette quindi di determinare completamente lo stato dinamico del sistema, fornendo sia la posizione che l'evoluzione nello spazio delle fasi. Si noti che mentre nel calcolo della probabilità della posizione il fattore di fase è ininfluente, questo non è vero per la probabilità dell'impulso:

dunque si può dire che il modulo della funzione d'onda è legato alla posizione, la fase all'impulso.
  1. La ragione per cui compare un fattore invece del classico è che qui si è scritta la trasformata tridimensionale e non unidimensionale come si fa in genere.
  2. Si noti che in pratica questo significa dire ancora una volta che la funzione è scritta in termini di somma di onde monocromatiche, pesate dalla .
  3. In sostanza: la trasformata di una convoluzione è la convoluzione delle trasformate. Per la precisione, questo teorema è più propriamente detto teorema di Plancherel, ma in ambito scientifico il caso particolare sulle trasformate di Fourier è comunemente attribuito a Parseval.
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